Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 81

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 164 >> Следующая


(3.6.57) M (1 + К.) - (1 + K-) M0 = M (1 + К+) (1 +F)~ ~(l + K+)(l + F)M0 = (M(l + K+)-(l + K+)M0)(l+F).

При z > X левая часть этого равенства обращается в нуль, поэтому должно выполняться соотношение (3.6.55). Предположим, что

M0, X = Odt + L0, і, М0,2 = + L0i2,

причем [M0, і, F] = 0, 1=1, 2. Из (3.6.57) следует, что Mi (1 + К+) = (1 + К+) Ma, „ і= 1,2.

Умножим первое уравнение (і = 1) слева на M2 и вычтем из него второе уравнение (і = 2), умноженное слева на Af1. В результате получим

(3.6.58а) [MltM2J = O,

или

(3.6.58b) CtdiL2 — ^dyL1 + [L1, L2] = 0,

или

(3.6.58с) L = $ду + L2, ~ ^ A, Lt = [L, А].

Соотношение (3.6.58) представляет собой нелинейное эволюционное уравнение, интегрируемое с помощью линейного интегрального уравнения. В (3.6.58Ь) видна зависимость от дополнительной переменной у, а (3.6.58с) является представлением Лак-са для этого эволюционного уравнения.

В случае уравнения К—П пара линейных операторов имеет вид

(3.6.59а) M0,x = adt + dl,

(3.6.59b) M0, г =$ду + dl

Из (3.6.54) следует, что ядро интегрального оператора подчиняется уравнениям

(3.6.60а) {шЗ, + (д\ + <93)} F = 0,

(3.6.60b) {№у +(dl-dl)} F = 0. 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 265

«Возмущенные» операторы при этом имеют вид (3.6.61а) M{ = adt+L{,

(3.6.61b) M2=^dy+ L2,

где

(3.6.61с) Li= +1 (udx + dxu) + w,

(3.6.61 d) L2 = dl+ и

(отметим, что дхи = udx + их) и и = 2 (d/dx) К (х, х),

г)\г=х + (К(х, х))2).

Можно проверить, что

(3.6.62) [L2,Ll]=dxw + wdx—j(uxxx + 6uux).

Поэтому операторное равенство (3.6.58Ь) приводит к (оператором следует подействовать на функцию f и приравнять нулю коэффициенты при ф и г|>*)

(3.6.63) aut + j (Uxxx + Quux) = ?wy, wx = — j $иу.

Это уравнение сводится к уравнению К—П (3.6.50). Если положить а = 1/4, то L-, Л-операторы в (3.6.58с) принимают вид

(3.6.64а) L = dl + u+$dy,

x

(3.6.64b) A = Adl + 3 {udx + dxu) - 3? J иу dxf.

-OO

Мы предлагаем читателю сравнить этот метод с другими подходами, обсуждавшимися в разд. 2.1 (см. также [141], [8]).

Описанный метод является чрезвычайно мощным, он одновременно дает и решения, и L-, Л-пары. Пара операторов (3.6.64) лежит в основании работы Захарова, Манакова [537], посвященной развитию метода обратной задачи рассеяния для уравнения К—П (см. также [528]).

Следует отметить, что не зависящие от времени решения уравнения (3.6.63) подчиняются уравнению Буссинеска

(3.6.65) Uxxxx + 6 {иих)х + Sfr2Uyy = 0.

С другой стороны, если отсутствует зависимость от у, то мы получаем обычное уравнение КдФ, продифференцированное по х. Частные решения можно строить с помощью линейного инте- 266 3. Различные перспективы

грального уравнения. Предположим, что

(3.6.66) F=ZMn (/, У) е-Vf-V;

п

тогда из (3.6.60) следует, что

(3.6.67) Mn (I, у) = Mn (0) ехр {(л* -Hin) у+ К + tI*) 0-Подставив п

(х)е " в интегральное уравнение (3.6.48), получим систему линейных алгебраических уравнений

(3.6.68) Kn (х) + Мпе~««х + MnYjKm (X) ЄХР(7х1+У} =

т

из которой следует, что потенциал и(х) = +2(d/dx)K(x, х)

можно представить в виде " = 2^ln А'

(3.6.69) / / / . ч и

А = det (Мп6пт + Mn SXP(~lYt ) *

Эта формула совпадает с результатом разд. 3.3, полученным Сатсумой [445]. Она описывает взаимодействующие плоские со-литоны, расположенные под углом к оси X (в ней содержится также резонансный случай, рассмотренный Майлзом [375, 376] (см. также [397]). При а = 1/4, ?2 = —1 в работе Манакова и др. [350] было показано, что в пределе формула (3.6.69) дает лампы — двумерные солитоны, убывающие во всех направлениях как 1 /R2 (R2 = X2 + у2) при R-*- оо (см. также разд. 3.4):

(3.6.70а) и = 2дх In det В,

где 2N X 2Л^-матрица В имеет вид

(3.6.70b) В = onm (х — ivny -In- 3v2ni) + (1 - o„m) ) .

Асимптотически это решение представляет собой набор невзаимодействующих лампов, двигающихся со скоростями Vx = — 3|vn|2, Vy = —61m Vn. В результате взаимодействия никакого сдвига фаз не происходит.

Захаров и Шабат в работе [546] обсуждают также и другие решения. Кроме того, они показали, каким образом эти методы можно применить для решения следующей Задачи о трехволно-вом взаимодействии в трехмерном пространстве:

ди і . „ . « » ~дГ + V1 -Va1 = JY1M2M3,

(3.6.71) ^+V2-Wu2 = iy2uX,

dt ' ' 2 duj

dt

V3 • Vw3 = /Y3UlUr 3.7. Трансценденты Пенлеве

267

Эти идеи были обобщены в работе Захарова [528] и затем Kop-ния [120]. Решение этой системы уравнений в классе функций, убывающих достаточно быстро при \х\, \у \ -> оо, были построены Каупом [265] с помощью метода обратной задачи рассеяния.

Наконец, отметим, что этот метод позволяет описывать конечные возмущения частных решений интегрируемых уравнений. Пусть u0{x,t)— некоторое частное решение интегрируемого уравнения (например, КдФ); тогда его возмущение v(x,t) (и(х, t) = Uo(x, 0+ и(х, t) можно описывать с помощью интегрального уравнения Гельфанда—Левитана — Марченко. Например, этим способом можно строить рационально-экспоненциальные решения; такой подход использовался в работах Ша-бата [460], Кузнецова и Михайлова [306], Абловица и Корния [6], Абловица и Эро [5].
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed