Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Обсудим два типичных примера, а именно уравнения КдФ и мКдФ. Мы начнем с интегрального уравнения
OO
(3.6.8) К (х, у) = F (х, у) ^ К (х, z) F (z, у) dz
л 252
3. Различные перспективы
(т. е. (3.6.1), случай А). Начнем с составления «словарика» тождеств, которые в дальнейшем нам понадобятся.
(3.6.9а) дпх j К (х, г) F (z, y)dz=\dzF (г, у) (д«К (х, г)) + Aa,
x x
оо Г оо "I
д&-] S * (*• F (z> У)^ = дх S F iz> у) dT^ (*' z) dz + An-I ¦
x *-х j
(3.6.9b)
Интегрирование по частям с последующим приравниванием (3.6.9а) и (3.6.9b) дает
(3.6.9с)
An-ix-F (х, у) [дТ'Кіх, г)]г-х>
причем
(3.6.9d) A1 = - К{х, x)F(x, у),
(3.6.9е) A2 = - -E (К (х, х) F (х, у)) - F (х, у) [дхК (х, г)]г-х, (3.6.9f) A3 = -(J7)2 (К (х, x)F{x, у))-
(X, у) [дхк (X, г)]г.х) - F (X, у) [д\к (х, z)]^x> где (d/dx) К (X, х) = {дхК (х, z) + дгК (х, г))г.х.
Аналогично, интегрируя по частям, получим
OO OO
J К (X, z) d»F (z, y)dz = {-\)«\F (z, у) д-К (X, z) dz + Bi
x x
(3.6.10a) при этом
(3.6.10b) B1 = -K (x, x) F (x, y),
(3.6.10c) B2 = -K(x, x)(dxF(x, у)) + ідгКіх, z))z=xF(x, y),
dxF {x, y) —
n'
B3=-K ix, x) dlF (x, у) + dK(? z)
(3.6. IOd) -{dlK(x,z))z-xF(x,y). 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 253
Поэтому
(3.6.11а) ^1-.B1 = O,
(3.6. lib) A2- B2=- 2F (х, у) дхк (х, х),
(3.6.11с) A3-B3 = - SdxF (х, у) -L К (х, х) -
-3F(x, y)[(d2x + dxdz)K(x,z)]z=x,
Теперь мы введем оператор L1 и потребуем, чтобы функция F удовлетворяла уравнению
(3.6.12) L1F es {dl- dl) F (х, у) = 0. Подействуем оператором L1 на (3.6.8); в результате получим
со
(.д1-д1)к = (д1-д2у)\к(х, г) F (г, у) dz =
x
OO OO
= \f(z, у) д IK (x, z) dz + A2-\к (xi z) Fyy (z, у) dz.
x x
Соотношения (3,6.12) и (3.6.11) дают
OO
(dl - dl) к (X, у) = \f (X, z) (dl - dl) к (X, z) dz -
x
(3.6.13) -2f (x,y)-L K(xtx).
Воспользовавшись уравнением F =(1 — Ax) К, перепишем
(3.6.13) в виде
(3.6.14) (/ - Ах) {(dl - dl) К (х, y) + 2[-LxK {.X, *)] К (X, у)} = 0.
Из обратимости оператора (I — Ax) следует (3.6.15а) (сfx - dl) К (х, у)+ и (х) К (х, у) = 0;
функция и(х) определена равенством (3.6.15b) u(x) = 2-L-K(x,x).
Таким образом, если функция F удовлетворяет уравнению (3.6.12), а К является решением уравнения (3.6.8), то функция К. удовлетворяет нелинейному уравнению (3.6.15). Если в 254 3. Различные перспективы
(3.6.15) подставить К(х, у) = яр (jc, k)eikу, то получим (3.6.15с) tyxx + (k2 + u)ty = 0,
т. е. уравнение Шрёдингера.
Рассмотрим теперь второй интегральный оператор, действующий на F, и потребуем, чтобы функция F удовлетворяла уравнению
(3.6.16) L2F = (dt + (dx + dyf)F = 0. Подействовав оператором L2 на (3.6.8), получим
oo
(dt + (дх + dyf) К (х, у) = (dt + (дх + dyf) J К (х, г) F (г, у) dz.
(3.6.17)
В правой части уравнения (3.6.17) имеется член
OO OO
I = ^K(X1Z) Ft (z, у) dz + (дх + dyf J к (X, Z) F (z, у) dz =
x x
(3.6.18а)
OO OO
= - J к (X, z) (дг + dyf F (z, у) dz + (дх + dyf J К (х, г) F (z, у) dz,
x x
(3.6.18b)
который мы представим в виде (3.6.18с) / = /, + /2 + /а.
Первый вклад /1 имеет вид (аргументы подразумеваются)
OO OO
(3.6.18d) I1 = dl^ KF dzKd3zF dz;
x x
используя (3.6.10), получим
OO
(3.6.18е) I1 = J (dlK + дія) Fdz +A3- B3.
x
Для I2 имеем
OO OO
I2 = Zdldy^KF dz-Z^KdldyF dz =
x x
OO
(3.6.18f) = 3 J (dlK - dlK) Fy dz + 3ду (Аг - B2) =
x
(3.6.18g) = - 3 иду (К (х, у)-F (X, у)) + 3d у (A2 - B2)-, 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 255
при этом мы воспользовались (3.6.15), (3.6.8) в виде ^ KF dz = = K-F. И наконец, для I3 имеем
OO OO
(3.6.18h) I3 = Здхд2у J KF dz - 3 J Kdzd2yF dz =
x x
OO OO
= з 5 (dxK) Fyy dz + 3 J KzFyy dz =
x x
8
= 3\(dxK + dzK)Fyydz =
x OO
= 3 \(dxK + dzK)Fzzdz =
x
= [3 (Kxz + Kzz) F — 3 (Kx + Kz) Fx]z=x +
OO
(3.6.18І) +3 \((dldx + dl)K)Fdz.
x
В итоге, воспользовавшись соотношением Kzz = Kxx + uK в последнем члене (3.6.18І), получим
OO
/ = /, + I2 + I3 = 5 ((дх + dzf К) F dz+ A3-B3- 3 иду (K-F) +
x
+ Zdy (A2 - B2) + [3 (Кхг + Kzz) F — 3 (Kx + Кг) Fx]z=x +
со
+ 3и J KzF dz.
x
Теперь уравнение (3.6.17) принимает вид
OO
(dt + (дх + ду? + 3udy) /(=$(/(,+ (дх + dzf К + 3иКг) F dz +Т,
(3.6.19а)
где
T = (A3- B3) + Зду (A2 - B2) + BuFy +
(3.6.19Ь)
+ 3 [(Kxz + Kzz) F-(Kx + Kz) Fx]^x. 256 3. Различные перспективы
Подставив значение A3 — B3f A2-B2 и воспользовавшись (3.6.15), (3.6.8), получим
T = Зи (х) К (х, х) F (х, у) — Зи (*) Fx (х, у) =
схэ
= — 3и (х) Kx (х, у) + 3« (х) Jj /Cjc (лг, z) F (z, г/) dz.
x
Это позволяет привести уравнение (3.6.19а) к виду (3.6.20а) (/ - Ax) {(<3, + (дх + dyf + 3и (дх + ду)) К (х, у)} = 0. Таким образом,
(3.6.20b) Kt + (дх + dyf К+ Su (дх + ду)К = 0.
На характеристике у == х уравнение (3.6.20Ь) (предварительно продифференцировав) можно переписать в терминах и = = 2(d/dx)K(x, х); в результате получим уравнение КдФ:
