Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
oo
(3.5.40а) ut + 2 иих + (1 + -І-) \ К(х-І)и(І) (Ц = 0,
-OO
где
OO
К(х) = ~ { C(k)eikxdk, (3.5.40b) ^jt
C(k) = -kcthk6 + ~.
Для волн на мелкой воде 6 —»0, и уравнение (3.5.39) или
(3.5.40) переходит в уравнение КдФ
(3.5.41) щ + 2иих + -i- иххх = 0.
Для волн на глубокой воде 6->оо, и в пределе получится уравнение Б—О:
(3.5.42) Ut + 2иих + H (ихх) = О
(H(и) обозначает, как и раньше, преобразование Гильберта от и). Задачу построения Л'-солитонных решений уравнения (3.5.39) рассматривали Джозеф и Эгри [247] и Чень, Ли [103]. Прежде чем заняться разложением решений уравнений (3.5.39), (3.5.40) по полюсам, мы перепишем их в билинейной форме (см. разд. 3.3). В (3.5.40), формально заменив k на —ід/дх, получим следующее дифференциально-разностное уравнение:
(3.5.43) Ut + 2uux + -L(l+-L)ux-~ ' 0 + т) cth (гд ~~§х~) и*х ^ 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 243
Замена зависимой переменной
(3.5.44) и = -Ii (1 + і) sh (»-Jr) In f <х> =
(Jk і!> дх f (x) — f (х .4- jo)) позволяет привести уравнение (3.5.43) к билинейной форме
(3.5.45) (j^y IDt + \ IDx + Dl) f+ • Г = О, где
(3.5.46) f±^f(x± гб),
а операторы Di, Dx определены в разд. 3.3 (см. (3.3.4)).
При этих преобразованиях следует соблюдать определенные предосторожности. Например, подстановка (3.5.44) в (3.5.39) или (3.5.40) приводит к (3.5.45) только в том случае, когда выполнено следующее условие.
Условие А. Функция f(x-\-i6) не имеет нулей в полосе —26 sC Imx <С 0. Если выполнено условие А, то
' J— Pfb 31 (Х ~ ^ д In f ^ + '6) /№ —
J 26 б dl 1 f(t + io)
== —E- In f {x 4- ib) f(x — гб) + const
(предполагается, что j ведет себя достаточно хорошо на бесконечности).
Для простейшего нетривиального солитонного решения функцию f(x) можно представить в виде
f (х) = 1 -f exp (kxX — CO1/ -f Т1(.0))>
(3.5.47) , і \ / і о ^ toI = V1 +Xj l~o~ki — ctgoA,J ,
ku т)*!01 — произвольные параметры. Требование 0 < k\b < л необходимо для выполнения условия А. Подставив (3.5.47) в (3.5.44), получим
(3.5.48а) « = (1+1) 7-- .
v V o; (cos ofei+ ch [k{x -CD1^+ Tl<0)})
Решение (3.5.48a) в пределе б ->¦ 0 переходит, в решение уравнения КдФ
(3.5.48Ь) и = Ц- sech2| [k{x - ~ k\/t + тН' 244 3. Различные перспективы
При б-> оо можно перейти к пределу, если одновременно устремить k\ ->¦ 0. Положив bk\ = л — ki/Сі, С] — вещественная положительная постоянная, получим рациональное решение уравнения Б—О:
(3.5.48с) и = 7--ггг .
(1 +c\(x-cxtf)
Используя (3.5.45), можно получить УУ-солитонное решение уравнения (3.5.39), но мы не будем здесь этим заниматься (см. [447]).
Обсудим теперь динамические системы, описывающие движение полюсов промежуточного уравнения (3.5.39). На практике более удобно пользоваться этим уравнением, представленным в билинейной форме (3.5.45). Предполагаем, что
n
I(X) = Jl(X-Xi(I))t I Im де, I >6, /=і
т. е.
n
и= — 1({ + "б ) Yj [ (X - X. (О + (6) (х X1 (t) - /б) ] /=1 1 1
(потребуем 11тл:/1 >6, чтобы удовлетворить условию А). Подставив f(x) в (3.5.45), получим
І (л-л1)»+ a* 0/ + 2(1+6) J] ' +6J = 0.
i = i ' k ф і " ''
Воспользовавшись разложением на простые дроби, это соотношение можно переписать в виде
n
X ( (X - Xj + iE) ~ (X - X. - (б) ) xI
n
+ 4(1+б)/§ E . {( (* - */ + й) (** - *,) (Xk - X1 + Щ ) -
__!_1 = 0
(х - xj - Я) (Xk - Xj) (Xk -Xj- 2/6) J
из которого немедленно получим
(3,5.49а) 1, + 4(1+„д; „.„^',^„,-О.
(3.5.49b) i( + 4(l+4, 2 ^znjpf=Jpw-O 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 245
для /= 1, ..., N. Складывая (3.5.49а, Ь), получим (3.5.50а) ^+ 4(1+ в) ? --Lw = O;
k Ф і v k і'
вычитание дает
N к Ф I
Система (3.5.50) представляет собой динамическую систему со связями. При б -> 0 мы получим динамическую систему, соответствующую уравнению КдФ (3.5.35):
(3.5.51а) Xj + 4 Z (Xk-Xj)-Z = O,
k Ф і
(3.5.51b) Z (Xk-Xj)S=O.
k Ф і
Отличие в коэффициентах связано с разным выбором масштабов времени в уравнениях (3.5.52) и (3.5.41) (t в (3.5.41) следует заменить на 31).
При 6->оо обозначим Xj = Xj-Ib для /= 1, 2, ..., M (здесь Im Xj > 6, поэтому Xj лежат в верхней полуплоскости) их, = X1 + гб для / = M+ 1, M + 2, ..., N (здесь ImXj < — б, поэтому Xj лежат в нижней полуплоскости). При б -> OO получим
M N
(3.5.52а) ±1= ? J-Lr- ? Т±Г ^ ^=1'2.....
A = I к І A=Af-H k I
к Ф j M N
= ? 1~=т при / = Af+ 1, .... JV
Jfe = 1 A 1 k = M+1 * I k Ф І
(3.5.52b)
— динамическую систему без связей. Если N = 2M и J= І*+7И для 1=1, ..., М, то получим систему
M M
U- 17^-2?.
A = I X1 A = I Х1 Хь
к ф і 246 3. Различные перспективы
которая после комплексного сопряжения и переобозначения совпадает с (3.5.9) (отметим, что в (3.5.53) точки xjy / = 1, ..., М, лежат в верхней полуплоскости, а в (3.5.9) точки х-, лежат в нижней полуплоскости).
Вычислив производную по времени от (3.5.52) (после простых алгебраических вычислений, использующих тождества, аналогичные (3.5.7)), получим м
