Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
ut + 6 UUx + Uxxx = 0.
Таким образом, любая функция F, удовлетворяющая уравнениям (3.6.12), (3.6.16) и быстро убывающая при х-++оо, порождает решение уравнения КдФ. Задача сводится к решению линейного интегрального уравнения (3.6.8); при этом нет необходимости связывать функцию F с какой-либо задачей рассеяния.
В качестве второго примера мы рассмотрим линейное интегральное уравнение
OO OO
(3.6.21) К{х, y) = F(x, у) + ^-\ \ K(x,z)F(z,u)F{u,y)dzdu
x x
(о = +1; множитель 1/4 выбран для удобства). Рассмотрим оператор L\\
(3.6.22а) L1F = idx-dy)F = 0;
поэтому
(3.6.22b) F(x, y) = F(±±^)
(множитель 1/2 снова выбран из соображений удобства). Воспользовавшись (3.6.22Ь) и сдвинув нижний предел интегрирования в нуль, перепишем (3.6.21) в виде
OO OO
о с
(3.6.23а) XF(xJr\ + y)dldx\, 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 257
ИЛИ
(3.6.23b) [{i-aAx)K](x,y) = F(^-),
где оператор Ax определяется следующим образом:
OO OO
(3.6.24) AJ (у) = ) J J f (О F (2* + ? + ") F ) ft d4.
о о
Удобно определить
OO
(4.6.25) K2(х, z) = J К(X, X+ l)F (X + l+Z ) ft.
о
При этом легко показать, что
OO
(3.6.26) (/ - a Ax) K2 (х, z) = J F (^f1) F (X + \ + Z) ft,
о
и интегральное уравнение (3.6.23а) можно переписать в виде
оо
К (х, У) = F (i±!L) + - J- J (х, X+ ч) F ) d4.
(3.6.27)
Подействовав на него оператором Li =(дх — ду), получим
оо
(дх - ду) К(х,у) = ±\ [(д, + д2) K2 (х, X+ ч)] F (* + !j + j/) dr\, о
(3.6.28)
где д\ и д2 являются производными по первому и второму аргументам функции К. Подействовав оператором (дх + дг) на (3.6.25), получим
OO
(¦дх + дг) K2 (X, z) = \ {(а, + д2) K(x,x + QF (Х + \ + г ) +
о
(3.6.29) +К{х, x + i)Fz{x + \ + z))dl =
OO
= S [(dl - д2) К(х,х + 5)] F (x + \+z) di - 2 к (X, х) F .
о
Подставив (3.6.28) в (3.6.29), мы видим, что
(I - aAx) (дх + дг) K2 (х, z) = -2K (х, х) F =
= -2 К(х, х) (I — a Ax) К (х, z).
9 Зак. 114 258 3. Различные перспективы
Аналогично подстановка (3.6.29) в (3.6.28) ведет к
OO
(/ - a Ax) (дх - ду) К(х, у) = -^K (X, X) J F (?^) X
о
X F + + у )с1ц = -^К(х,х)(1- a Ax) K2 (х, у).
Отметим, что оператор Ax коммутирует с оператором умножения на функции, зависящие только от х. Поэтому если оператор (1 — aAx) обратим, то мы доказали, что
(дх + ду) K2 (х, у) = — 2К (х, х) К (х, у),
(3.6.30)
(дх — ду) К{х, у) — ~ ~ К (х, х) K2 (х, у)-
Этих результатов следовало ожидать из метода обратной задачи (ср. с (1.3.19)). Однако при их выводе мы воспользовались только обратимостью оператора (/ — оАх), а это требование значительно слабее, чем условия, накладываемые при обычном аналитическом подходе. Положив К(х, у) = Vi (х)е%у, К2(х, y) = v2(x)e~^y, мы получим для v\, V2 систему уравнений (1.2.7а).
Теперь подействуем на (3.6.23а) оператором (дх + ду)К(х, у) = Ff +
OO OO
+ SS /С (*. * + о (дх + dy)[F F ( ?±л±»)]^ч+
о о
(3.6.31)
+ і П ^ + Ы + Ol P P (ii^ii) « A1.
о о
Но
(дх + ду) (^^) =
^ + р (?±а±? ) + f (^+П ) г (i±J±»)-
(3.6.32) 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 259
Интегрирование по ті в (3.6.32) ведет к
(1-оАх)(дх + ду)К(х, у) =
= F' JL\K{x>x + z)Fpx + QdUF(x +у) =
^ о '
= Ґ ("Т") - T Кг (X, X) (/ - оAx) К (X, у), т. е.
р, (*+?.) = (/ _ aAx) {(<эх + ду) К (X, у) + \ K2 (X, х) К (х, г/)}.
(3.6.33)
Это «словарик», нужный для нашей задачи.
На последнем этапе мы воспользуемся тем фактом, что функция F удовлетворяет еще одному линейному уравнению:
(3.6.34) L2F = (dt + (dx+dyf)F = 0. Подействовав оператором L2 на уравнение (3.6.23а), получим
{dt + (dx + dyf}K(x, у) =
OO
= O + ~{dt + (dx + dy?}\K(x,x + 0F(2t±A±l-)x
о
(3.6.35) XF (x + \ + y)d4dl.
Когда мы будем производить дифференцирование под знаком интеграла в правой части уравнения (3.6.35), количество членов будет увеличиваться, но некоторые члены взаимно уничтожаются. Например, воспользовавшись (3.6.34), получим
idt+(? +ад Z7 (^ti) F(^rtji) =
= W4[Г (? + ?+^)].
Уравнение (3.6.35) можно переписать в виде
(I-oAx){dt + (dx + dyf}K(x,y) =
= - ] « IHii * <*• ' + 0} ^ {4^)}F (-4а) -
(3.6.36) °
-Ц[дхКг(.х, *)] F'+ 260 3. Различные перспективы
Но из (3.6.30) следует, что
дхК2 (х, х) = — 2К (х, х)
и
о
= дх [(? — ду) K2 (х, у)]у=х = = [(o* + ду) (дх — ду) K2 (х, у)]у~х = = (дх - ду) {-2К (х, х) К (х, у))у=х = = - 2 [дхК (х, х)] К (х, х) + а/С2 {х, х) K2 (х, х). При этом мы воспользовались соотношением
OO
(дх - ду) K2 (х, у) =$(<?,+ д2) К (х, X+ OF [Х+\+У) dt.
о
Теперь из вспомогательных соотношений (3.6.23), (3.6.33), обратимости оператора (/ — оАх) и равенства (3.6.36) следует, что (при у^х)
{dt + (дх + ду)3} К (х, у) = За К (х, х) К (х, у) дхК(х,х) +
(3.6.37)
+ 3оК2 (х, х)(дх + ду)К(х,у).
Если определить
(3.6.38) q(x, t) = K(x, x-, t) и взять (3.6.37) при у = х, то получим
(3.6.39) dtq + d3q = Qaq2qx,
т. е. q удовлетворяет модифицированному уравнению Кортевега — де Фриза.
