Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 72

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 164 >> Следующая


(3.4.42) F2 ~ kxk2 {х2 -t2- 3).

Таким образом, несколько первых рациональных решений уравнения Буссинеска получаются по формуле (3.4.35), где Fn — одна из следующих функций:

x + t, х2-!2 — 3, (х ± O8 + (х ± t) 4= 6/.

Полиномы более высокого порядка можно получить, действуя таким же образом. Несомненно, что преобразование Бэклунда приведет к рекуррентной формуле между рациональными решениями, но никто таких вычислений до сих пор не проделал. Рассмотрим, наконец, уравнение

(3.4.43) vt+ 6v2vx +Vxxx = O

с ненулевыми асимптотическими граничными условиями v-+Vo при |х|->-оо. Следуя [217] и [226], имеем

(3.4.44) 0 = ^ + /(^-^.).

Подставив (3.4.44) в (3.4.43) и расщепляя возникшее уравнение, получим

(3.4.45а) {Dt+ Qv20Dx +Dl) Fn-Fn = O,

(3.4.45b) (Dx-2iv0Dx)GN-Fn = O.

Чтобы найти солитонные решения, выпишем разложение (3.4.46а) Fn=I + eFN, { + b2Fn.2 + ... ,

(3.4.46b) Gw=I + eGw,, +Is2Gyv, 2+... .

Подставим (3.4.46) в (3.4.45) и приравняем нулю коэффициенты при разных степенях є. Начав в Fn, і=еї1' + ф1, GNi 1 = е*1'+ , 232

3. Различные перспективы

мы получим односолитонное решение (3.4.47а) F1= 1 + ет,, + ф\

(3.4.47b) G1 = 1 + є111+ фі,

где

(3.4.47с) Tll- = к,х - (Qvlki + k])t + ц?\

(3.4.47d) еф/=1 —ik/?uo,

(3.4.47е) є*/ = 1 - IkiI2v0.

Подставив (3.4.47) в (3.4.44), получим явную формулу односо-литонного решения

fe?

fe2

(3.4.48) о = у,j + 1

(V4»o + k\ chlli + 2f0) '

которая была получена также в работе Оно [410]. Чтобы получить двухсолитонное решение, мы начнем с

/^1 = I Offll-Z^+*'

i=i (=і

и найдем

(3.4.49а) F2=I +еч,+Ф, + еч. + Ф. + ел.+ть + Ф1 + ч1, + А.> (3.4.49b) G2= 1 + е*1'+ + є* + * ++ * + * + + А"г где

(3-4-49с) ^ =

Как и раньше, рациональные решения могут быть получены переходом к пределу ki-+ 0 при подходящем выборе фазовых

постоянных. Для N= 1 выберем ev> = —1 и получим (3.4.50а) F1- -kx (х- Qv20I + ¦

(3.4.50b) G1--(* — 6wo* —-і-) .

что приводит к рациональному решению (3.4.51) V = V0-^7-^t4-.

4?2 (* - 6v2tf + 1

Это решение также было получено в работе Оно [410] и представляет собой несингулярный одномерный алгебраический 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения

233

еч(10) = _е40) = + Ci і M2

солитон. Для N = 2, взяв

+ / 1 I k\k2 \

I + Ц)

И устремив ki-+ 0, мы получим, что

(3.4.52а) F2, G2---^ kxk2 (k, + k2) ¦ + 12/ -

где

(3.4.52b) I = X-Gvli,

и верхний (нижний) знак относится к функции F2(G2). Подставив (3.4.52а) в (3.4.44), видим, что это решение также представляет собой несингулярный алгебраический солитон

,одєоч 12а0 (^ + (3/2t,02) j2-3/16.Q4-24gQ

(0.4.OoJ O0 4„2(63+ш_(з/402)б)2 + з(&2 + 1/402)2 -

3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения. Взгляд, который мы часто излагаем в этой книге, состоит в том, что различные редукции «интегрируемых» нелинейных эволюционных уравнений также являются (в некотором смысле) «интегрируемыми». Например, автомодельная редукция приводит к уравнениям типа Пенлеве (см. разд. 3.7), решения которых выражаются либо через классические трансценденты Пенлеве, либо через специальные гиперэллиптические функции (см. разд. 2.3). Здесь мы обсудим друґой пример проявления этого принципа. Занимаясь поиском (разложений по полюсам) алгебраических решений различных нелинейных эволюционных уравнений, мы получим конечномерные динамические системы — системы обыкновенных уравнений, т. е. задачи N тел. Эти динамические системы представляют самостоятельный интерес.

Идея исследовать движение полюсов решений нелинейных эволюционных уравнений весьма стара. Например, ее использовали при изучении движения точечных вихрей в гидродинамике (см., например, Онзагер (1949) [411]). Для уравнений, связанных с МОЗР, такой анализ впервые проделал Краскал (1974) [297] для уравнения КдФ. Он отметил, что любой солитон представим в виде конечного набора полюсов и поэтому взаимодействие солитонов можно было бы описывать как взаимодействие полюсов. Сикстан (1976) [482] дальше развил эти идеи, а Эро, Мак-Кин и Мозер (1977) [36] показали, как рациональные и эллиптические решения можно было бы 234

3. Различные перспективы

рассматривать с точки зрения разложений по конечным наборам полюсов (см. также [110]).

В этом разделе мы остановимся на разложении по полюсам (т. е. на рациональных решениях) трех нелинейных эволюционных уравнений: так называемом уравнении Бенджамина — Оно (Б—О), уравнении КдФ и промежуточном уравнении (промежуточном в том смысле, что уравнения КдФ и Б—О могут быть получены из него предельными переходами). Все эти уравнения возникают в теории длинных внутренних волн в стратифицированной жидкости. Следует отметить, что Мозер [386, 387] рассматривал интересную конечномерную систему, принадлежащую другому классу. Она получается из конечной цепочки Тоды (разд. 2.2) со свободными концами. Здесь мы не будем углубляться в эту задачу.

В каждом из перечисленных случаев мы выведем уравнение соответствующей динамической системы. Но только первый пример будет проинтегрирован нами в явном виде. Мы получим решение динамической системы, изучавшейся в работах Калод-жеро [86, 87], Сазерленда [469] и Мозера [386, 387].
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed