Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя решения соответствующих нелинейных эволюционных уравнений являются рациональными функциями пространственной переменной х, мы выделили эту тему в отдельный раздел, так как в отличие от предыдущего здесь основная задача—^ получить и изучить некоторые интересующие нас динамические системы.
Мы начнем с уравнения Б-—О, впервые предложенного Бенджамином [53] и позднее выведенного при помощи формального асимптотического разложения в работе Оно [409]; это — нелинейное сингулярное интегродифференциальное уравнение
(3.5.1) щ + 2иих + H (ихх) = 0, где H (и) является преобразованием Гильберта
OO
(3.5.2) Я («) = -!¦ f -PQd*?.
— oo
Символ ^f(x)dx означает интеграл в смысле главного значения. Следуя [95] и [105], будем искать движение полюсов (разложение по полюсам) решения этого уравнения:
N N
(3.5.3) U=Y-Цтч+ У —=W-T-
/=, * ~ *'^x- xI (О
Такой подход отчасти мотивируется тем, что уравнение (3.5.1) имеет известное рациональное решение в виде уединенной 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 235
волны
(3.5.4) и = j + [С (л. _ а __ ^2 = iC [ с (jc _ ct _ Хо) + . —
__!_1
С (х- Ct- х0) — і J'
найденное Бенджамином [53]. Отметим, что преобразование Гильберта переводит полюс в полюс, т. е.
#(——) =—-—, Im x1 > 0.
\ x — xjj x-xj i
Подставив (3.5.3) в (3.5.1), получим
+ ? FV H + 2С?, F^T
о
где л; = dx/dt.
Имеется несколько способов получить уравнение движения полюсов. Рациональную функцию можно разложить на простые дроби, что дает
(3.5.6а) , _ , _ .. = , ,2
(х - а)2 (х -Ь) (х- а)2 1 (х - а) 1 (х - Ь) ' где
(3.5.6b) A =—Ц-, B = ~А. , C= . 1 .
4 ' а — b а — Ь (а — Ь)2
Затем, воспользовавшись (3.5.6), тождеством
(3.5.7а) Z E (xh-x1)(x-xk)(x-xj) =° І кфі
и тождеством
(3.5.7b) Y1 E _ д._ д..) _ + 236
3. Различные перспективы
получим
1
~ Xi — Хь
ФI I R
¦ 0.
В результате мы имеем динамическую систему (задачу N тел)
(N N \
У —1---У —l^- I = о
кФІ /
и комплексно-сопряженную систему уравнений. Отметим, что систему (3.5.9) можно вывести из (3.5.5), положив X = Xj-f є и вычислив разложение по е->0.
Замечательно, что система (3.5.9) может быть преобразована к гамильтоновой форме. Вычислив вторую производную по времени от (3.5.9) и перегруппировав члены, получим
(3.5.10) 1
\кфі
4 1 I Lji (х/ - Xk)3
1
-Z E (Xk — ¦
(xk — Xj) (xk — Xl) (Xj — Xl)
кфі Іфк, і
? (4 - xD Іхі - A) (xI - A) +
+ ? (xk - xI) (xk - xI) (*/ - x\) + + ? ,? (xI - xD (xi - xi) (4 - xi)
W-*/)8 +? W-*/)3)'
Можно проверить, что второй и третий члены в правой части равны нулю, а члены с четвертого по седьмой в сумме также дают нуль. Остается гамильтонова задача N тел с парным взаи-модействием
(3-5Л1> -/ = 8E T^W
ЬФІ 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения
237
и гамильтонианом
(Xk — Xj)2 '
і І кфі
Систему (3.5.11) изучали многие авторы: Калоджеро [86, 87], Сазерленд [469], Мозер [386, 387], Олынанецкий и Переломов [405, 406, 407], Kaждан, Костант и Стернберг [271]. В связи с уравнением Б—О см. работы Кэйса [95, 96] и Чена, Ли и Перейры [105].
Далее нам удобно будет изменить масштаб времени по формуле t-*-2t\ при этом
кФІ
Интегрирование задачи N тел более общего вида было дано Мозером [386, 387]. Рассмотрим L — А пару
(3.5.13а) /л|> = Яф,
(3.5.13b) ^ =
где L, А — матрицы
о г (1 — 5ьі)
(3.5.14а) = +
(3.5.14b) Akj = -IbkiYj J^w +
г (1-М
. .. (Xk — Xj)2 ¦
ІФк
Предположив Xt = 0, мы получим эволюционное решение Lt = = [L, А], или, после некоторых вычислений,
(3.5.15) = Z (Xk-Xl)-2- Z (Xi-Xl)-2) +
* ' Xk-Xi \ІФІ ІФІ )
у (і -а»)(і — Qf/) / -і , і \
+ Zj (Xk — X1) (Xi — Xi) — X1) "т" (Xi — X/))'
При k = j эта система уравнений совпадает с (3.5.11); при k Ф / и правая, и левая части (3.5.15) равны нулю.
Таким образом, динамическая система (3.5.12) является изоспектральной. Отсюда немедленно следует наличие N интегралов движения (переменных действия). Чтобы в этом убедиться, обозначим
(3.5.16а) /„ = tr (L"), п= 1, N;
тогда
(3.5.16Ь) -ІІГ = 0' 238 3. Различные перспективы
так как следы (tr) от Ln выражаются через собственные значения матрицы L. Дополнительный набор N величин (угловые переменные) также может быть найден [405, 406, 407]. Непосредственным вычислением убеждаемся, что уравнения движения можно записать в виде
(3.5.17) Xt = [AX] + L,
где Xkj = SkjXj, а матрицы L, А определены в (3.5.14). Отметим, что [ЛХ]= г(1 —8kj)/{xj — Xk)-
Далее по индукции можно проверить, что
(3.5.18) -^j-(XLn~x) = \A, XLn~l] + Ln. Обозначив
(3.5.19) /„ = tr (XLn-1), мы получим
(3.5.20) ^jf = In.
При этом мы воспользовались равенством tr [Л, ?] = 0 для любых А, В. Таким образом,
(3.5.21) Jn (i) = In+ Jn (0).
Итак, мы имеем два набора из N переменных, каждый заданный в явном виде в любой момент времени. Это полностью определяет движение полюсов.
Например, рассмотрим случай N = 2:
(3.5.22а) tr L = I1 = Xi + х2,
