Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
OO .—,
(3.5.54а) х, = 8 ? (*, - xk)~l при / = 1, 2, .... М,
к ф і
л'
(3.5.54b) 1, = 8 ? при / = M + 1, ..., N.
k = M +1 к Ф і
Следует отметить, что в этом пределе (б->оо) функции /+, f- имеют следующие разложения по полюсам: /+ = Ц^,(х — Xj), = П^=Л1+1 (х — Xj). В результате вычислений мы получили систему (3.5.54), показывающую, что полюсы в верхней полуплоскости не влияют на движение полюсов в нижней полуплоскости, и наоборот.
Для уравнения (3.5.39) можно построить преобразование Бэклунда и аналог преобразования Миуры [448, 449]. Обозначив Wx = и, перепишем (3.5.39) в виде
(3.5.55) Wt + W2x + (l + -j-) TWxx = 0.
Преобразование Бэклунда имеет вид
(W + W% = A + ІТ (Wf - W)x - /б"1 (\W -W) + це1'6 (w"-w)/(i+o), (3.5.56а)
(Г-ІГ)г = -{|(і +1) + ^(^'-^ +
+ / (і + }) (Г - W)xx - i{W' - W)x T (W' - W)x + (3.5.56b) + /б"' (W' - W) (W' - W)x,
где X, p — произвольные параметры. Если W удовлетворяет (3.5.55), то и W', определенное по (3.5.56), также удовлетворяет (3.5.55). Обозначив V = W' — W (и использовав Wx = и), можно переписать (3.5.56) и получить обобщение преобразования Миуры:
(3.5.57а) Vx+ 2и = к + ІТ (JAc) - ib~lV + це1'1'«6/1+«»,
^ = -((1 +1)6-1 + ^) Vx + (3.5.57b) +/(1 + \)(Vxx + 2ux)-IVxT(Vx)+ Ib^VVx. 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 247
Подставив Vx + 2и из (3.5.57а) в правую часть (3.5.57Ь), получим модифицированное уравнение внутренних волн
Vt + IVx + (1 + T (Vxx) + ^ei w>+o>" + iT (Vx) - { v}vx=o,
(3.5.58)
имеющее то же дисперсионное соотношение, что и промежуточное уравнение (3.5.39). Другой способ — разрешить (3.5.57а) относительно и и воспользоваться тождеством
T (Fx) T (Vxx) - VxVxx - T (VxT (Vx))x = б"1 (VT (Kxx) - T (Wx)).
(3.5.59)
Тогда (прямо из (3.5.39)) получим
ut + 2 UUx + T (ихх) = [± І-L Т.- й"1 + (ii^e'- <«/'+6>" -
-іЩ^+^+О+і)7^+
(3.5.60) + {ре' «6'1+6) " + ІТ (Vx) - j V} Vx].
Таким образом, уравнение (3.5.58) играет ту же роль для промежуточного уравнения (3.5.39), какую модифицированное уравнение КдФ играет по отношению к уравнению КдФ.
Наложив условие У(±оо) = 0 и воспользовавшись равен-
Sco д Г00
[T(f)dx = 0, получим, что dx = 0. Это оз-
начает, что уравнение (3.5.39) имеет бесконечную серию законов сохранения. Подставляя V = —г(1 -f 1/6) (/ ln(—%/\i) в (3.5.57а), получим
ех_1=Л-і[/(і + j)x, + (l +і)г(Х;с)_б-і(і + 4)Х-2и].
(3.5.61)
Подставив і в виде разложения %= ?Г ^ПРИ Я->оо и приравняв в (3.5.61) коэффициенты при одинаковых степенях К, получим рекуррентную формулу для определения %п.
Функции in, как нетрудно понять, являются плотностями интегралов движения уравнения (3.5.39). Первые четыре %п имеют вид
Xi=". X2 = "2. Хз = "3+ (l + 4) JuTux>
Х4 = "4+з(1+|) иЧих + \ (l + + I (l + DW+ + Tfi-1O + у) 248
3. Различные перспективы
Плотности %„ в пределе б ->- 0 переходят в плотности интегралов движения для уравнения КдФ, а при 6 оо — соответственно для Б—О.
Формальную линейную задачу можно получить, определив
(3.5.62а) In -^C- = і —— V,
v ' ?1+6
(3.5.62b) (In = -^1-7-(^) + 0-^].
В пределе б оо при подходящем V это эквивалентно расщеплению функции V на функции, аналитически продолжаемые в верхнюю (—) и нижнюю (+) полуплоскости, так как In^i = = ±(І + Я)У. Подстановка (3.5.62) в (3.5.57а) дает
(3.5.63) (1 + {) - і (и - -J) ?- = - 4
Оператор, определяющий эволюцию по времени, также можно найти, см. [449].
При б —> 0, полагая V = 2 (1 + б) (in ср)*, К = (1 + 1/6) k cos kb, Ц = (1 + 1/6) fe/sin (kb) и переходя к пределу, получим, что
(3.5.63) переходит в задачу рассеяния для оператора Шрёдингера
(3.5.64) Фх* — (-^- — и) ф = О, а при б->- оо получим
(3.5.65) =
Уравнения (3.5.63, 65) представляют собой задачи Рима-на — Гильберта. Для конечного б функции являются
граничными значениями функций, аналитических в полосах (+; —26 < Im je < 0), (—; О < Im х < 26) и периодически продолженных. Недавно эти линейные задачи позволили применить МОЗР для построения точных решений рассматриваемых уравнений (см. [284]). В этом же направлении были сделаны работы Накамуры [393] и Бока, Краскала [68].
3.6. Прямые методы, использующие линейное интегральное уравнение. В предыдущих разделах была установлена связь между нелинейными эволюционными уравнениями и линейным интегральным уравнением (уравнение типа Гельфанда, Левитана, Марченко). В этом разделе мы обсудим схему вывода эволюционных уравнений непосредственно из линейного интегрального уравнения. Эгот вывод применим как в случае уравнений в частных производных, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. также разд. 3.7). Нам нужно потребовать лишь достаточно быстрого убывания решений на одной из 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение
249
бесконечностей (например) при х—>-оо, с тем чтобы интегральные операторы были определены. Следует, однако, отметить, что в общем случае решения, достаточно быстро убывающие на jf->--)-оо, могут иметь особенности в конечных точках, либо
