Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, каждое решение уравнений Lt-F = 0, і = 1,2, убывающее достаточно быстро при х-»-оо, определяет решение уравнения (3.6.39) (при этом на промежуточном этапе следует решить линейное интегральное уравнение (3.6.21)). Никаких глобальных свойств (на всей оси —оо < х < оо) не требуется. Интересным частным случаем является построение автомодельных F и К:
К(х, у, t) = (Щ~тК(1, Л). F [jlJl-. 0 = (30-^(-4^)'
(3.6.40) где
_ X _ у
ё~(3/)1/3' Ч~ (31)'«' 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 261
Подставив это представление в (3.6.23), убедимся, что R удовлетворяет уравнению такого же вида:
(3.6.41) R (6, ч) ¦= P (Hi) + T S« О ^(-Ц4) X
. г
Подстановка (3.6.40) в (3.6.34) дает уравнение F"'(I)-[F (I)+ IF'(I)] = 0, которое можно один раз проинтегрировать:
(3.6.42) Fff(I)-IF(I) = Cl.
Если Ci = O, то решение, убывающее при пропорцио-
нально функции Эйри:
(3.6.43) ?(1 + И) = гАі(І±і).
При этом функция Q(I)= •/?(!, 1) должна быть автомодельным решением уравнения (3.6.38), т. е.
О!" — [Q + ?Q'] = 6crQ2Q'.
Это уравнение также можно один раз проинтегрировать:
(3.6.44) Q" = IQ + 2 0Q3 + C2.
Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.6.44) представляет собой уравнение Пенлеве (Pu).
Мы показали, что каждому решению линейного интегрального уравнения (3.6.41) с ядром Р, удовлетворяющим уравнению (3.6.42), отвечает решение уравнения (3.6.44). В частности, при Ci=O из (3.6.41) следует, что функция Q(I) экспоненциально убывает при |->-оо; таким образом, C2 в (3.6.44) также равно нулю, и
(3.6.45) Q" = lQ + 2oQK
Однопараметрическое семейство решений этого уравнения можно построить, решив линейное интегральное уравнение
(3.6.46) ' [/ - ог2Аъ] R (6, ті; г) = г Ai ("Ц^") •
где
(3.6.47) A\f (Л) = т П > ® АІ (1?1) АІ (-iT21) *
M 262 3. Различные перспективы
при этом Q(g, г) = К(?,, g, г). Эти результаты впервые были получены Абловицем и Сигуром (1977) [27]. В разд. 3.7 мы более подробно обсудим свойства уравнения Рц.
Перейдем теперь к обсуждению предшествующей конструкции Захарова — Шабата [546], ограничившись частным примером уравнения Кадомцева — Петвиашвили. Уравнение (3.6.8) удобно переписать в виде
OO
К (х, z; у, О + F (х, z-, у, t) jt^K (х, s; у, t) F (s, z; у, i) ds = 0. (3.6.48)
Вначале мы перечислим результаты для уравнения Кадомцева— Петвиашвили (К—П), а затем обсудим конструкцию Захарова— Шабата (несколько отличающуюся от вышеописанной).
Если мы потребуем, чтобы функция F удовлетворяла двум линейным уравнениям
(3.6.49а) L1F = $Fa + Fxx - Fzz = О,
(3.6.49b) L2F = aFt + Fxxx + Fzzz = О,
и будем следовать уже описанному рецепту или рецепту, который будет обсуждаться чуть ниже, мы обнаружим, что и = = 2(d/dx)K{x, х) удовлетворяет уравнению К—П (см. также разд. 2.1, 3.3, 3.4)
(3.6.50а) дх (ащ + (иххх + 6иих)) = — ?2«w, или при а = 1/4
(3.6.50Ь) дх (ut + Quux + иххх) == — 3
Теперь мы выведем уравнение (3.6.50), используя операторный формализм Захарова — Шабата. Все операторы обозначаются буквами, снабженными крышкой (т. е. К — оператор, К — функция, возможно матричная). В операторных обозначениях линейное интегральное уравнение записывается в факто-ризованном виде
(3.6.51) (1 + К+) (1 + /0 = (1 + K-),
где Я±, P — матричные (N X N) операторы, действующие на (векторнозначные) функции = {г|зь .. ., г|),\}г и
OO
(3.6.52) ft = J F(x,z) $ (г) dz 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 263
(F— N X А'-матричная функция). Здесь R± являются вольтер-ровскими операторами, К+{х, z) = 0 при z < х, К-(х, z) = О при z > х. Предполагается, что операторы (1 + К+) обратимы. Действуя соотношением (3.6.51) на г|э, получим
OO
(3.6.53а) К+ (х, z) + F (х, z) -f ^ К+ (х, s) F (s, z) ds,
x OO
(3.6.53b) K-(x,z) = F(x,s)+ \ К-(Х, s)F(s,z)ds.
— оо
Отметим, что уравнение (3.6.53а) совпадает с (3.6.48) (зависимость от вспомогательных переменных у, t подразумевается).
Пусть далее определены некоторые «невозмущенные» операторы M0t і, і = 1,2, удовлетворяющие соотношению
(3.6.54) [M0, (f F] = M0, ,У - FM0,, = 0.
Так, например, если Mj = ді, то (3.6.54) означает, что
OO OO
д2х J F (х,г)ір (г) dz— \ F (х, z) d2zty (z) dz = О,
— 00 —OO
что дает уравнение (д2х —dl) F = 0. Эти «невозмущенные» операторы порождают «возмущенные» операторы Mi, і = 1, 2, по следующему правилу:
(3.6.55) M1 (1 + К+) — (1 + К+) M0, І = 0, /==1,2. Оператор M0 имеет вид
M0 = ад, + $ду + L0, L0=Z 1пдпх
(In — постоянные матрицы). Уравнение (3.6.55) приводит к оператору
M = adf + ?dy -f L, L=Z\ Indnx+? Vk(x)dnx~k\,
коэффициенты Vk (x) которого определяются рекуррентно, и уравнению на К+ следующего вида:
(3.6.56а) adtK+ + $dyK+ + LK+ + ? (-1)"-' = О
(это аналог уравнения (3.6.7)). Например, если ct=? = 0, Lu = d2 (скалярный оператор), то K1 = O, V2 = 2 (d/dx) К(х, х) =
= и(х), т. е. L = dl+ и, и К+ удовлетворяет уравнению (di-dl + u)K+ = 0. 264 3. Различные перспективы
Теперь из условия (3.6.54) и интегрального уравнения (3.6.51) следует
