Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
неограниченно расти при --оо, либо медленно убывать при
х-*-—оо. Во всех этих случаях классический анализ, основанный на аналитических свойствах функций Йоста, неприменим, так как при этом требуется «хорошее» поведение потенциала на всей прямой (см., например, [152], [136]). Благодаря этой свободе класс решений, который может быть получен прямым методом, гораздо шире возможностей МОЗР. Например, таким образом можно описывать автомодельные решения, подчиняющиеся обыкновенным дифференциальным уравнениям, связанным с рассматриваемыми эволюционными уравнениями.
Этот метод впервые использовался для нелинейных эволюционных уравнений Захаровым и Шабатом (1974) [546] (см. также [459]). Блазек [66] и Корний [117] использовали аналогичные идеи применительно к обратной задаче рассеяния; Корний [119, 120] получил ряд дальнейших результатов, применяя их для решения нелинейных эволюционных уравнений. В этом разделе мы будем следовать изложению Абловица, Pa-мани и Сигура [23]; затем обсудим работу Захарова и Шабата [546], основанную на несколько другой точке зрения. Рассмотрим линейное интегральное уравнение
oo
(3.6.1) К(х, y) = F(x, y)+<\jK(x,z)N(x-,z,y)dz, у^х.
x
Кроме явно указанных аргументов (х,у, z), функции F, N, К в (3.6.1) могут зависеть от других параметров (t, X, ...). Производные по этим параметрам могу г появиться в дифференциальных уравнениях, которым удовлетворяют F, К, но уравнение (3.6.1) следует рассматривать при фиксированных значениях этих дополнительных параметров.
В каждом конкретном случае функция N явно выражается через F. Например:
(A) N (х\ г, у) = F {z, у) (уравнение КдФ, высшие КдФ, Бус-
синеска, Кадомцева — Петвиашвили ...)
oo
(Б) N (х; z, у) = ± \ F (z, s) F (.ч, у) ds (уравнения мКдФ, высшие * мКдФ, sin-Гордон...)
oo
(B) N (х\ Z1 у) = zt [ F* (z, s) F (s, у) ds (нелинейное уравнение
X Шрёдингера, связанные
с ним высшие уравнения...) 250
3. Различные перспективы
При обычном подходе функция F строится по известным данным рассеяния, полученным из решения «прямой задачи рассеяния»; при этом рассеивающий потенциал и(х) восстанавливается по функции К (например, и(х)=К(х,х), или и(х) = = (d/dx)K(x, х)). Здесь мы отвлечемся от подобной интерпретации, а вместо этого потребуем, чтобы функция F удовлетворяла некоторому (обыкновенному или в частных производных) линейному дифференциальному уравнению.
Определим оператор Ax:
(3.6.2) AJ (у) -
t^f(Z)N (х; z, у) dz; у > х,
x
0 ; у < х.
Предположим, что при каждом конкретном выборе N можно доказать обратимость оператора (/ — Ax). Точнее говоря, при достаточно больших л; имеется пространство функций, на котором оператор (/ — Ax) обратим, а оператор (/ — Ах)~1 непрерывен. Кроме того, мы предположим, что оператор, полученный из (3.6.2) дифференцированием по х или у, также определен на этом функциональном пространстве. Можно показать, что эти ограничения выполняются во многих задачах (см., например, [23]).
Учитывая эти предположения и тот факт, что функция F подчиняется некоторому линейному дифференциальному уравнению, мы покажем в этом разделе, что (определенная выше) функция и(х) подчиняется нелинейному дифференциальному уравнению. Мы будем говорить, что это нелинейное уравнение решается методом обратной задачи рассеяния,хотя связи с прямой задачей рассеяния устанавливаться не будет.
Схематически этот подход можно сформулировать следующим образом.
(i) Функция F удовлетворяет двум линейным дифференциальным обыкновенным (или в частных производных) уравнениям
(3.6.3) L1F = 0, г — 1, 2.
(ii) Функция К связана с F уравнением (3.6.1), которое мы можем переписать в виде
(3.6.1') (J^Ax)K = F.
(iii) Действуя операторами Li. /=1, 2, на это уравнение, получим
(3.6.4) Li(I-Ax)K = 0, /=1,2. 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение
251
Это можно переписать в виде
(3.6.5) (I-Ax)(LlK) = Ri, / = 1,2,
где Ri, і = 1,2 содержит все остальные члены (3.6.5). При этом (3.6.1) и (3.6.3) выбраны таким образом, что Ri можно представить в виде
(3.6.6) Ri = (I-Ax)Mi(K), /=1,2,
где Mi(K)— нелинейный функционал от К. (iv) Таким образом,
(I - Ax) [LiK - Mi (К)] =0, /=1,2.
Но оператор I — Ax обратим, поэтому функция К должна удов^ летворять нелинейным дифференциальным уравнениям
(3.6.7) LiK-Mi(K) = O, Z= 1,2.
Следовательно, каждое решение линейного интегрального уравнения (3.6.1) служит также решением нелинейного дифференциального уравнения (3.6.7).
Основными составными частями этого подхода являются линейное интегральное уравнение (3.6.1) и два линейных дифференциальных оператора Li, /= 1, 2. Два линейных оператора отвечают линейной задаче рассеяния (скажем, при / = 1) и эволюции волновых функций по времени (скажем, при / = 2). Для того чтобы этот метод действительно работал, следует определить класс допустимых операторов Li, /= 1, 2. Принципиальное значение имеет оператор Li, связанный с задачей рассеяния. Мы сочли удобным составить «словарик» для членов, которые могут появляться в правой части уравнения (3.6.5) (т. е. из чего состоит Ri). В каждом конкретном случае это позволяет редуцировать уравнение (3.6.7) при і = 2 до нелинейного дифференциального уравнения вдоль линии у =х. Наконец, отметим, что: (і) функция К, являющаяся решением уравнения (3.6.1), достаточное число раз дифференцируема, поэтому существует LiK\ (іі) уравнение L^F = 0 может быть либо уравнением в частных производных, содержащим зависимость от времени, либо соответствовать автомодельной подстановке (см. [23]).
