Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
3.7. Трансценденты Пенлеве. Среди решений уравнений в частных производных встречаются решения, зависящие только от какой-нибудь одной комбинации независимых переменных и, следовательно, удовлетворяющие некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) (в этом разделе ОДУ будет обозначать как одно обыкновенное дифференциальное уравнение, так и систему таких уравнений). Например, уравнение КдФ
(3.7.1а) Ut + Quux + Uxxx = 0
допускает как стационарные решения
и (X, t) = U (х — et)
(при этом U (z) удовлетворяет ОДУ (3.7. lb) V" + W2-CU = K),
так и автомодельное решение
«(х, 0-(30-^/(^).
где f(z) удовлетворяет уравнению (3.7.1с) Г + 6//' = zf' + 2/.
Каждое из этих ОДУ является точной редукцией уравнения в частных производных.
Методы, обсуждающиеся в этой главе и других разделах книги, успешны из-за чрезвычайно богатой внутренней структуры изучаемых уравнений. Обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные точными редукциями из уравнений в частных производных, также наследуют эту богатую структуру, и некоторые из методов, развитых для уравнений в частных произ- 268
3. Различные перспективы
водных, можно с успехом применить для исследования соответствующих нелинейных ОДУ. Осознание этого факта позволило решить ряд проблем, остававшихся неразрешенными в теории ОДУ более века.
Все ОДУ, полученные в результате точной редукции, обладают одним важным и простым свойством — свойством Пен-леве (которое будет определено ниже). Это позволяет непосредственно проверить, является ли наперед заданное нелинейное уравнение в частных производных интегрируемым при помощи МОЗР. Мы увидим, что эта связь между ОДУ со свойством Пенлеве и уравнениями в частных производных, интегрируемыми с помощью МОЗР, является весьма полезной и позволяет получить ценную информацию как об ОДУ, так и об уравнениях в частных производных.
3.7. а. Свойство Пенлеве. Начнем с обзора некоторых фактов, касающихся ОДУ (см. [238, гл. 15]). Рассмотрим ОДУ п-го порядка
dnw і г, / \ dn~xw , , г, , ^ dw , г> і \ а
+ •¦¦ +Рп-Лг)~ +Pn(Z)W = 0.
Если все п коэффициентов являются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки го комплексной плоскости Z, то Zo называется регулярной точкой ОДУ, и в ее окрестности имеется п линейно независимых аналитических решений этого уравнения. Особенности решений ОДУ могут находиться только в точках особенностей коэффициентов уравнения. Эти особенности называются неподвижными, так как их расположение не зависит от (п) постоянных интегрирования. Неподвижность особенностей решения в комплексной плоскости является общим свойством линейных ОДУ.
Нелинейные ОДУ не обладают этим свойством. Простым примером нелинейного ОДУ является
(3.7.2а) =
Общее решение этого уравнения имеет вид
(3.7.2b) W(ZiZ0) = Jz^.
Здесь Zo — произвольная постоянная интегрирования, она же определяет расположение особенности. Особенности, расположение которых зависит от постоянных интегрирования, называются подвижными. Нелинейные ОДУ могут иметь как подвижные, таки неподвижные особые точки.
Сингулярность решения ОДУ, не являющуюся полюсом (произвольного порядка), называют критической особой точкой. 3.7. Трансценденты Пенлеве
269
К ним относятся точки ветвления (алгебраические и логарифмические) и точки существенных особенностей. В конце XIX в. математиков интересовала проблема классификации ОДУ по типу сингулярностей, которыми могут обладать их решения. (Обзор большого количества работ, посвященных этому вопросу, см. в [238, гл. 12—14] или в [210].) В 1884 г. Фукс доказал, что среди всех уравнений первого порядка
^j = F(w, г)
с функцией F, рациональной по w и локально аналитической по z, только обобщенное уравнение Рикатти
(3.7.3) ^ = Po(z) + Pl(z)w + P2(z)w2
не имеет подвижных критических точек.
С. В. Ковалевская, несомненно знакомая с этими результатами, сделала следующий важный шаг, и в 1888 г. ей была присуждена премия Бордэна за значительный вклад в теорию движения твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести. Основная ее идея состояла в том, чтобы выполнить не имеющие очевидного физического смысла вычисления, позволившие определить параметры задачи, при которых уравнение движения не имеет подвижных критических точек. Во всех этих случаях ей удалось явно проинтегрировать уравнения движения. В оставшихся случаях решение этих уравнений до сих пор не известно. (Обсуждение этих работ читатель может найти в книге [189].)
Вскоре после этого Пенлеве и его ученики обратились к изучению уравнений второго порядка вида
(3.7.4) w" = F (w', w, z),
где функция F является рациональной по w, w' и локально аналитической по 2. Они показали, что среди всех возможных уравнений этого вида имеется только 50 канонических уравнений, обладающих свойством отсутствия подвижных критических точек. Это свойство мы будем называть свойством Пенлеве, а уравнения, обладающие этим свойством, — уравнениями Р-типа. Все эти 50 уравнений можно привести либо к интегрируемым уравнениям, либо к одному из шести нелинейных неавтономных ОДУ. Вот эти шесть уравнений:
