Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.5.21а) ^ = Y(S7s) <7* = О,
где
(1.5.21b) +
(1.5.21с) y{k2)==^m.
Здесь ю(й) является дисперсионным соотношением линеариза-ванной задачи (q = exp(ikx — i(o(k)t)). Например, в случае уравнения КдФ qt -г bqqx + qxx-.х = 0 линеаризованная задача имеет вид qt + qxxx = 0, что приводит к дисперсионному соотношению to = — &3. Поэтому y(k2) = -Ak2 и, таким образом, Y (3?s) = —4S's. Из (1.5.21) немедленно следует, что
=>- Qt + qXxx + ^QQx + Zqqx = 0.
Из приведенного анализа видно, что квадраты собственных функций играют важную роль. В частности, они эволюционируют во времени довольно простым образом. Например, в случае 62 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
уравнения КдФ из (1.2.24) и (1.2.20а) мы находим, что квадрат любой собственной функции подчиняется эволюционному уравнению (см. [172])
(1.5.22) (v2)t -J- (V2)xxx + 6« (V2)x = 0,
которое представляет собой линеаризацию уравнения КдФ.
1.5.Ь. Нелинейный фурье-анализ — метод обратной задачи рассеяния. Весьма поразительна замечательная аналогия с фурье-анализом (ср. с разд. П.1). В линейной теории уравнения также определяются дисперсионным соотношением:
(1.5.23а) qt = — /со (— idx) q.
Например, iqt = qxx=5> a(k) =—k2. Процедура решения начальной задачи на бесконечном интервале (—оо,оо) в предположении достаточно быстрого убывания q(х, 0)-^-0 при оо сводится к преобразованиям Фурье:
OO
(1.5.23b) q(x,t)=-±- J b(k, t)eikxdk,
— OO
причем
оо
(1.2.23с) b(k, 0)= J q (х, О)e~ikxdx,
— OO
(1.2.23d) b(k, t) = b(k, 0)rto®f.
Таким образом, по заданному в момент / = O начальному условию q(х, 0) мы при помощи преобразования Фурье находим b(k, 0). Функция b(k, t) просто зависит от времени, и q(x, і) получается обратным преобразованием Фурье. Схематически это можно изобразить следующим образом:
Преобразование 'qpn t= O-.(j(x,0) A—і (M)
ы (к)-.дисперсионное соотношение
ofe.O -TS-і 4 OMM(M) е''"""'
" Обратное
преобрахВанив
Близкая аналогия между методом обратной задачи рассеяния и методом преобразования Фурье побудила Абловица, Kayna, Ньюэлла и Сигура [12] назвать их процедуру решения Inverse Scattering Transform. Так и в линейной теории вид каждого эволюционного уравнения можно охарактеризовать некоторым дисперсионным соотношением, а именно дисперсионным соотноше- 1.5. Оператор эволюции
63
ниєм соответствующего линеаризованного уравнения, например (1.5.19). Глубокая аналогия видна и в схеме решения эволюционных уравнений методом обратной задачи рассеяния. Для удобства примем г = ±q*. Пусть при t = 0 задана функция q(x, 0). Следует решить прямую задачу рассеяния и найти данные рассеяния (разд. 1.3). Эволюция данных рассеяния во 1Bpe-мени задается сравнительно простыми уравнениями (разд. 1.4), зависящими от дисперсионного соотношения линеаризованной задачи. Для восстановления потенциала следует решить уравнение обратной задачи (разд. 1.3). Схематически это можно изобразить так:
Прямая
«чет
ш(к1
1(X't} ^Обратная =
задача
' (6/а)(?,І) = (і/а)Ц,0) е!"'-2**) = const Jj=I
Обратная задача сводится к уравнению (1.5.24а) К (X, у, t) =F Г (х + у\ t) ±
OO OO
± J J К(х, Z-, t)F*(z + s\ t)F(s + y-, t)dsdz = 0,
x x
где
oo n
(1.5.24b) F(XM) = -L J A?, t)e~llx dl-IYjCi (()eiZlx
-OO /-1
определяется по начальным данным, а решение q^x, t) можно найти из
(1.5.24с) q (х, t) = — 2/С (х, х; /).
1.5. с. Условия ортогональности. Здесь мы вернемся к выводу интегральных условий (1.5.5), следуя работе [12, приложение 1]. Рассмотрим задачу на собственные значения и временную зависимость в матричной форме:
(1.5.25а) vx = il Dv+ Nv,
(1.5.25b) Vl = Qv,
где
ч:;> -п ;)¦ Чс J).
-С о> 64 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
При помощи перекрестного дифференцирования с учетом = О получим
(1.5.26) Nt = Qx + ii [Q, D] + [Q, N],
где [Л, ?] = AB — BA. Сформируем матрицу фундаментального решения
(1.5.27а) P= [Фі Ч.
Обратную матрицу P-1 можно представить в виде
(1.5.27b) Р-' = ["Ф2 Ч.
L ф2 — Фі J
Удобно определить матрицу S формулой Q = PSP-1 (с S работать легче, чем с Q). Таким образом,
Qx = PxSP-1+ PSxP-1-PSP-1PxP-'.
Подставляя это соотношение в (1.5.26) с учетом (1.5.25), мы получим простую формулу Nt = PSxP-1, или
x
(1.5.28) s = S(-oo)+ J P-lNtPdx.
-OO
Граничное условие при х = —оо имеет вид
5(-оо) = Л_(0(^ J).
Из (1.5.28) мы можем при желании построить решения для Л, В, С. Однако здесь мы выведем только интегральные условия, необходимые для существования решения.
Данные рассеяния (а, b, a, b) определяются соотношениями
(1.5.29а) ф = аф-+01|), ф = — H-
где при х-* OO
(!•5.29b) „-(^ J, ).
Отсюда и из 5 = P-1QP мы с легкостью находим
(aa — bb 2ab \ (1.5.30) S(H-Oo)I )Л_(0.
V 2 ab — (аа — bb)s 1.5. Оператор эволюции 65
Переходя в (1.5.28) к л = +оо и подставляя (1.5.20) в (1.5.28), получим
OO
Л_ (? (aa — bb — 1) = ^ (Фіфіг^ — ф2ф2qt) dx,
-OO
OO
(1.5.31) A_(Q2ab= J + ф^) dx,
