Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 20

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 164 >> Следующая


(1.5.21а) ^ = Y(S7s) <7* = О,

где

(1.5.21b) +

(1.5.21с) y{k2)==^m.

Здесь ю(й) является дисперсионным соотношением линеариза-ванной задачи (q = exp(ikx — i(o(k)t)). Например, в случае уравнения КдФ qt -г bqqx + qxx-.х = 0 линеаризованная задача имеет вид qt + qxxx = 0, что приводит к дисперсионному соотношению to = — &3. Поэтому y(k2) = -Ak2 и, таким образом, Y (3?s) = —4S's. Из (1.5.21) немедленно следует, что

=>- Qt + qXxx + ^QQx + Zqqx = 0.

Из приведенного анализа видно, что квадраты собственных функций играют важную роль. В частности, они эволюционируют во времени довольно простым образом. Например, в случае 62 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

уравнения КдФ из (1.2.24) и (1.2.20а) мы находим, что квадрат любой собственной функции подчиняется эволюционному уравнению (см. [172])

(1.5.22) (v2)t -J- (V2)xxx + 6« (V2)x = 0,

которое представляет собой линеаризацию уравнения КдФ.

1.5.Ь. Нелинейный фурье-анализ — метод обратной задачи рассеяния. Весьма поразительна замечательная аналогия с фурье-анализом (ср. с разд. П.1). В линейной теории уравнения также определяются дисперсионным соотношением:

(1.5.23а) qt = — /со (— idx) q.

Например, iqt = qxx=5> a(k) =—k2. Процедура решения начальной задачи на бесконечном интервале (—оо,оо) в предположении достаточно быстрого убывания q(х, 0)-^-0 при оо сводится к преобразованиям Фурье:

OO

(1.5.23b) q(x,t)=-±- J b(k, t)eikxdk,

— OO

причем

оо

(1.2.23с) b(k, 0)= J q (х, О)e~ikxdx,

— OO

(1.2.23d) b(k, t) = b(k, 0)rto®f.

Таким образом, по заданному в момент / = O начальному условию q(х, 0) мы при помощи преобразования Фурье находим b(k, 0). Функция b(k, t) просто зависит от времени, и q(x, і) получается обратным преобразованием Фурье. Схематически это можно изобразить следующим образом:

Преобразование 'qpn t= O-.(j(x,0) A—і (M)

ы (к)-.дисперсионное соотношение

ofe.O -TS-і 4 OMM(M) е''"""'

" Обратное

преобрахВанив

Близкая аналогия между методом обратной задачи рассеяния и методом преобразования Фурье побудила Абловица, Kayna, Ньюэлла и Сигура [12] назвать их процедуру решения Inverse Scattering Transform. Так и в линейной теории вид каждого эволюционного уравнения можно охарактеризовать некоторым дисперсионным соотношением, а именно дисперсионным соотноше- 1.5. Оператор эволюции

63

ниєм соответствующего линеаризованного уравнения, например (1.5.19). Глубокая аналогия видна и в схеме решения эволюционных уравнений методом обратной задачи рассеяния. Для удобства примем г = ±q*. Пусть при t = 0 задана функция q(x, 0). Следует решить прямую задачу рассеяния и найти данные рассеяния (разд. 1.3). Эволюция данных рассеяния во 1Bpe-мени задается сравнительно простыми уравнениями (разд. 1.4), зависящими от дисперсионного соотношения линеаризованной задачи. Для восстановления потенциала следует решить уравнение обратной задачи (разд. 1.3). Схематически это можно изобразить так:

Прямая

«чет

ш(к1

1(X't} ^Обратная =

задача

' (6/а)(?,І) = (і/а)Ц,0) е!"'-2**) = const Jj=I

Обратная задача сводится к уравнению (1.5.24а) К (X, у, t) =F Г (х + у\ t) ±

OO OO

± J J К(х, Z-, t)F*(z + s\ t)F(s + y-, t)dsdz = 0,

x x

где

oo n

(1.5.24b) F(XM) = -L J A?, t)e~llx dl-IYjCi (()eiZlx

-OO /-1

определяется по начальным данным, а решение q^x, t) можно найти из

(1.5.24с) q (х, t) = — 2/С (х, х; /).

1.5. с. Условия ортогональности. Здесь мы вернемся к выводу интегральных условий (1.5.5), следуя работе [12, приложение 1]. Рассмотрим задачу на собственные значения и временную зависимость в матричной форме:

(1.5.25а) vx = il Dv+ Nv,

(1.5.25b) Vl = Qv,

где

ч:;> -п ;)¦ Чс J).

-С о> 64 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

При помощи перекрестного дифференцирования с учетом = О получим

(1.5.26) Nt = Qx + ii [Q, D] + [Q, N],

где [Л, ?] = AB — BA. Сформируем матрицу фундаментального решения

(1.5.27а) P= [Фі Ч.

Обратную матрицу P-1 можно представить в виде

(1.5.27b) Р-' = ["Ф2 Ч.

L ф2 — Фі J

Удобно определить матрицу S формулой Q = PSP-1 (с S работать легче, чем с Q). Таким образом,

Qx = PxSP-1+ PSxP-1-PSP-1PxP-'.

Подставляя это соотношение в (1.5.26) с учетом (1.5.25), мы получим простую формулу Nt = PSxP-1, или

x

(1.5.28) s = S(-oo)+ J P-lNtPdx.

-OO

Граничное условие при х = —оо имеет вид

5(-оо) = Л_(0(^ J).

Из (1.5.28) мы можем при желании построить решения для Л, В, С. Однако здесь мы выведем только интегральные условия, необходимые для существования решения.

Данные рассеяния (а, b, a, b) определяются соотношениями

(1.5.29а) ф = аф-+01|), ф = — H-

где при х-* OO

(!•5.29b) „-(^ J, ).

Отсюда и из 5 = P-1QP мы с легкостью находим

(aa — bb 2ab \ (1.5.30) S(H-Oo)I )Л_(0.

V 2 ab — (аа — bb)s 1.5. Оператор эволюции 65

Переходя в (1.5.28) к л = +оо и подставляя (1.5.20) в (1.5.28), получим

OO

Л_ (? (aa — bb — 1) = ^ (Фіфіг^ — ф2ф2qt) dx,

-OO

OO

(1.5.31) A_(Q2ab= J + ф^) dx,
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed