Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 14

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 164 >> Следующая


(1.3.39а)

„ /м 2ik + Q h ih\ Q aW= 2 ik ' =--Ш

9(k)= Л п ' xW^ 2lk

2 ik + Q ' v ; 2ik + Q •

Если Q > 0, то a(ki) = O в некоторой точке k\ верхней полуплоскости. Поэтому имеется собственное значение ^1 = — «і, и нормировочная константа Ci определяется формулами

(1.3.39b) X1 = -I". С і = Щ- = res р (JK1). Если Q <. О, то дискретный спектр отсутствует. 42

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

Прямоугольная яма также является примером потенциала, для которого легко вычислить данные рассеяния.

В дополнение к рассмотренным здесь уравнениям и результатам по обратным задачам имеется большое число других вопросов, интересовавших исследователей. Например, Захаров и Шабат (1972) [545] изучали нелинейное уравнение Шрёдингера с ненулевыми условиями на бесконечности (граничные условия приводят к появлению так называемого солитона огибающей, темнового импульса; см. также [200]). Проблема поиска решений с периодическими граничными условиями также изучалась многими авторами (см. разд. 2.3); задача на полуоси использовалась в работах [25] и [388]. В литературе можно встретить много других задач, связанных с оператором второго порядка (см., например, [242, 266]).

1.4. Зависимость от времени и частные решения. В предыдущем разделе мы вывели уравнения обратной задачи для обобщенной задачи рассеяния Захарова — Шабата и задачи рассеяния для оператора Шрёдингера. Точнее говоря, имея данные рассеяния

S (0-{{?/}/% Т<0}

(т. е. дискретные собственные значения, нормировочные константы и коэффициент отражения), мы можем составить и в принципе решить линейные интегральные уравнения обратной задачи рассеяния, что позволяет восстановить рассеивающий потенциал (см. (1.3.29b), (1.3.37с)). Это можно сделать для любого момента времени /, так что / входит как параметр. Поскольку нас интересует решение нелинейного эволюционного уравнения, то мы будем действовать следующим образом. Пусть при / = 0 заданы начальные условия одной из систем, обсуждавшихся в разд. 1.2. Затем мы решим прямую задачу рассеяния (например, (1.2.7а)) и отобразим эти начальные потенциалы в данные рассеяния S(?; / = 0) (т. е. при / = 0 мы вычислим собственные функции и по ним найдем данные рассеяния). В этом разделе мы покажем, как можно получить данные рассеяния /) в любой момент времени / > 0. Восстановив по этим данным потенциал, мы получим решения нелинейного эволюционного уравнения в любой момент времени /.

Мы начнем с построения совместного решения уравнений (1.2.7а) и (1.2.7b). В разд. 1.2 было показано, что требование q, г-*- 0 при J Jc I —>- оо дает широкий класс уравнений, обладающих

тем свойством, что А ->D-*--Л_(?), В, С-+ 0 при \х\ ->

г-*- оо. Зависящие от времени собственные функции определяют- 1.4. Зависимость от времени и частные решения 43

ся следующим способом: (1.4.1)

(t) At .(t) , -At

ф = фе - I Ifw=IjJe - ,

.<f -A t -At) -.At'

ф = q>e -J 1|) = 1|)Є ~ ,

где ф, ф, rf) удовлетворяют (1.2.7а) с зафиксированными граничными условиями (1.3.1). Следует отметить, что уравнение временной эволюции (1.2.7Ь) не удовлетворяется при зафиксированных граничных условиях. Поэтому ф ~ е~^х и т. д.

не могут удовлетворять (1.2.7Ь). Например, временная эволюция

показывает, что ф удовлетворяет

(1.4.3) Aj. М-Д-Ю В ч

dt \ с D + A_{l)r

Если мы воспользуемся соотношением

(1.4.4) ф = агр + И ~ a Q + b ^ е«*,

то при X ->• СО получим

П4Б) (* е~лх)=( 0 Ї V ' \bt е*х J \-2А_ (QbeKx)'

Таким образом,

(1.4.6а) b(Z,t) = b(Z, O)e~2A-{l)t,

(1.4.6b) fl(?,0 = a(C, 0).

Из (1.4.6Ь)

следует, что собственные значения Zk и® зависят от времени. Аналогичным образом, воспользовавшись определением нормировочных констант Cj (t) (^(Ij) = Cfi(Zl), Cj = = CjIai), мы найдем

(1.4.7) Cj (0 = C1,0е~2А- <с/> j=\, 2, ... , N,

где Cj,0 = Cj(t = 0). В том случае, когда данные рассеяния могут быть продолжены в верхнюю полуплоскость, из соотношения Cj=^bjIofj немедленно получаем

СДО= = =C,

yw Uj (l, t) a'jit, 0) />0 44 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

Совершенно аналогично получается зависимость данных рассеяния S (?/; t) от времени (при выводе следует воспользоваться соотношением ф = —агр + :

b(t, t) = b{l, 0)е2А (1.4.8) a (E, /) = a(S, 0),

Это позволяет установить зависимость от времени ядер интегральных уравнений обратной задачи F(x, t) и F(x, t):

(1.4.9а) F(x, 0 = i 0)eilx-2A-^dl-

-OO /=i

(1.4.9b) F{x, t)=± ] 1(5,

-OO

-i^C/.oe-'V+^-W'. /-і

Формулы (1.4.9) играют роль решений соответствующей линейной задачи методом Фурье. Решение нелинейного эволюционного уравнения находится по формуле (1.3.24). Следует отметить, что интегральные уравнения упрощаются при *-><». Например, из (1.3.24), предположив для удобства, что г = ±q*, получим Kiix, у) ~ ±F*ix,+y).

Поэтому из (1.3.29Ь) следует, что

OO -OO

Отметим, что ?/ лежат в верхней полуплоскости и поэтому вклад связанных состояний экспоненциально мал при х-*-оо. Таким образом, при X-у оо задача свелась к линейной, и ее решение можно представить в виде
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed