Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.3.39а)
„ /м 2ik + Q h ih\ Q aW= 2 ik ' =--Ш
9(k)= Л п ' xW^ 2lk
2 ik + Q ' v ; 2ik + Q •
Если Q > 0, то a(ki) = O в некоторой точке k\ верхней полуплоскости. Поэтому имеется собственное значение ^1 = — «і, и нормировочная константа Ci определяется формулами
(1.3.39b) X1 = -I". С і = Щ- = res р (JK1). Если Q <. О, то дискретный спектр отсутствует. 42
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Прямоугольная яма также является примером потенциала, для которого легко вычислить данные рассеяния.
В дополнение к рассмотренным здесь уравнениям и результатам по обратным задачам имеется большое число других вопросов, интересовавших исследователей. Например, Захаров и Шабат (1972) [545] изучали нелинейное уравнение Шрёдингера с ненулевыми условиями на бесконечности (граничные условия приводят к появлению так называемого солитона огибающей, темнового импульса; см. также [200]). Проблема поиска решений с периодическими граничными условиями также изучалась многими авторами (см. разд. 2.3); задача на полуоси использовалась в работах [25] и [388]. В литературе можно встретить много других задач, связанных с оператором второго порядка (см., например, [242, 266]).
1.4. Зависимость от времени и частные решения. В предыдущем разделе мы вывели уравнения обратной задачи для обобщенной задачи рассеяния Захарова — Шабата и задачи рассеяния для оператора Шрёдингера. Точнее говоря, имея данные рассеяния
S (0-{{?/}/% Т<0}
(т. е. дискретные собственные значения, нормировочные константы и коэффициент отражения), мы можем составить и в принципе решить линейные интегральные уравнения обратной задачи рассеяния, что позволяет восстановить рассеивающий потенциал (см. (1.3.29b), (1.3.37с)). Это можно сделать для любого момента времени /, так что / входит как параметр. Поскольку нас интересует решение нелинейного эволюционного уравнения, то мы будем действовать следующим образом. Пусть при / = 0 заданы начальные условия одной из систем, обсуждавшихся в разд. 1.2. Затем мы решим прямую задачу рассеяния (например, (1.2.7а)) и отобразим эти начальные потенциалы в данные рассеяния S(?; / = 0) (т. е. при / = 0 мы вычислим собственные функции и по ним найдем данные рассеяния). В этом разделе мы покажем, как можно получить данные рассеяния /) в любой момент времени / > 0. Восстановив по этим данным потенциал, мы получим решения нелинейного эволюционного уравнения в любой момент времени /.
Мы начнем с построения совместного решения уравнений (1.2.7а) и (1.2.7b). В разд. 1.2 было показано, что требование q, г-*- 0 при J Jc I —>- оо дает широкий класс уравнений, обладающих
тем свойством, что А ->D-*--Л_(?), В, С-+ 0 при \х\ ->
г-*- оо. Зависящие от времени собственные функции определяют- 1.4. Зависимость от времени и частные решения 43
ся следующим способом: (1.4.1)
(t) At .(t) , -At
ф = фе - I Ifw=IjJe - ,
.<f -A t -At) -.At'
ф = q>e -J 1|) = 1|)Є ~ ,
где ф, ф, rf) удовлетворяют (1.2.7а) с зафиксированными граничными условиями (1.3.1). Следует отметить, что уравнение временной эволюции (1.2.7Ь) не удовлетворяется при зафиксированных граничных условиях. Поэтому ф ~ е~^х и т. д.
не могут удовлетворять (1.2.7Ь). Например, временная эволюция
показывает, что ф удовлетворяет
(1.4.3) Aj. М-Д-Ю В ч
dt \ с D + A_{l)r
Если мы воспользуемся соотношением
(1.4.4) ф = агр + И ~ a Q + b ^ е«*,
то при X ->• СО получим
П4Б) (* е~лх)=( 0 Ї V ' \bt е*х J \-2А_ (QbeKx)'
Таким образом,
(1.4.6а) b(Z,t) = b(Z, O)e~2A-{l)t,
(1.4.6b) fl(?,0 = a(C, 0).
Из (1.4.6Ь)
следует, что собственные значения Zk и® зависят от времени. Аналогичным образом, воспользовавшись определением нормировочных констант Cj (t) (^(Ij) = Cfi(Zl), Cj = = CjIai), мы найдем
(1.4.7) Cj (0 = C1,0е~2А- <с/> j=\, 2, ... , N,
где Cj,0 = Cj(t = 0). В том случае, когда данные рассеяния могут быть продолжены в верхнюю полуплоскость, из соотношения Cj=^bjIofj немедленно получаем
СДО= = =C,
yw Uj (l, t) a'jit, 0) />0 44 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Совершенно аналогично получается зависимость данных рассеяния S (?/; t) от времени (при выводе следует воспользоваться соотношением ф = —агр + :
b(t, t) = b{l, 0)е2А (1.4.8) a (E, /) = a(S, 0),
Это позволяет установить зависимость от времени ядер интегральных уравнений обратной задачи F(x, t) и F(x, t):
(1.4.9а) F(x, 0 = i 0)eilx-2A-^dl-
-OO /=i
(1.4.9b) F{x, t)=± ] 1(5,
-OO
-i^C/.oe-'V+^-W'. /-і
Формулы (1.4.9) играют роль решений соответствующей линейной задачи методом Фурье. Решение нелинейного эволюционного уравнения находится по формуле (1.3.24). Следует отметить, что интегральные уравнения упрощаются при *-><». Например, из (1.3.24), предположив для удобства, что г = ±q*, получим Kiix, у) ~ ±F*ix,+y).
Поэтому из (1.3.29Ь) следует, что
OO -OO
Отметим, что ?/ лежат в верхней полуплоскости и поэтому вклад связанных состояний экспоненциально мал при х-*-оо. Таким образом, при X-у оо задача свелась к линейной, и ее решение можно представить в виде
