Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Обсудим теперь сдвиги фаз солитонов уравнения КдФвдвух-солитонном решении. Мы видели, что нормировочные константы в этом случае имеют следующую зависимость от времени:
t
(1.4.39) С (O = Coe т
(напомним, что Xm =— у?т < 0 являются собственными значениями). Из этого решения непосредственным вычислением получаем
(1.4.40) Д = det (I + С) = 1 + е* + еЦ! + е^+'Ч где
1In =-2^mix -4CO + Vo.
Vo = lnCo' еА„=( «1-Х« V
V Xi + И2 / 1.4. Зависимость от времени и частные решения
55
(отметим, что здесь определение г) отличается от данного в предыдущем разделе). Теперь сдвинемся вдоль траектории Лі = = const, предполагая для определенности, что k1 > к%. Тогда При /-»--оо Г|2-Э--оо, и мы имеем
(1.4.41) Л-І+еі', а при /-*--foo т]2-*+оо и
(1.4.42) А~(1 + еЧ'+^еЧ
Из (1.4.38) следует теперь, что вблизи характеристики Ti1 = Const решение q(x, t) при і-> ±оо представляется в виде
(1.4.43а) Я (х, О ~ 2x2/ch2 (rj, + ср±),
Ф+ = Л12, if>_ = О, фиксировано, /->±оо. Таким образом, взаимодействие не изменяет скорости и амплитуды солитона. Сдвиг фазы — это все, что происходит в результате взаимодействия. Из полученной формулы следует, что траектория солитона сдвигается на А12, или, точнее,
(1.4.43Ь) Аф = ф+-ф_ = 1п (??-)2.
Вообще для уравнения КдФ с каждым собственным значением Xp = — к2; Xj > к2 > ... > %N > О связан солитон, стремящийся при t -> ± оо асимптотически к
q ~ 2xp/ch2 (rjp + <р±). Сдвиг фазы Аф солитона дается формулой
(1.4.44) = ? In (^J-
т=р+1
EP_I In (%т ~ у~р Y
V Xm + Xp /
Ш = 1
Теперь совершенно очевидно, что общий сдвиг фазы есть сумма всех сдвигов, как если бы солитон р парно провзаимодействовал с каждым солитоном по отдельности (см. [525, 495, 474]). В общем случае вопрос о взаимодействии солитонов с решениями, отвечающими непрерывному спектру, изучался в работе [13].
В последней работе для общего сдвига фазы р-го солитона, возникающего в результате взаимодействия с другими солито-нами и непрерывным спектром, получена формула
(1.4.45) 9+-,_ = ,„{(4?.)'n(A)].
v m=l J 56
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
В (1.4.45) с+ обозначают „правые", а с~ — „левые" нормировочные коэффициенты; имеется в виду, что собственная функция определена следующим образом:
^xx + (и (х, 0) — х-р) ij) = 0,
J Cp?~V, х-* + оо, (1.4.46) ~ I CpeV1 X —* — оо,
OO
J ^dx= 1.
— OO
Когда отсутствует непрерывный спектр, сдвиг (1.4.45) сводится к jV-солитонной формуле, так как в случае чистого jV-солитон-ного решения мы имеем
«¦«¦«> WW-W 0(??/-
тфр
Если имеется только одно собственное значение и непрерывный спектр, то
(1.4.48) Ф+ - Ф- = I" (-?-) •
Эта формула была найдена Абловицем и Сигуром [26].
1.5. Общий эволюционный оператор. В этом разделе мы найдем общий класс нелинейных эволюционных уравнений, связанных с обобщенной задачей рассеяния Захарова — Шабата. Оказывается, что при некоторых условиях удается установить общие соотношения, позволяющие непосредственно описать класс интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. Эти соотношения зависят от закона дисперсии линеаризованной задачи и от некоторого интегро-дифференциального оператора. При выводе мы будем основываться на работе Абловица, Kayna, Нью-элла и Сигура [12].
1.5.а. Вывод общих эволюционных уравнений. Мы будем работать с уравнениями (1.2.7), (1.2.8) и с собственными функциями ф, ф, имеющими граничные условия (1.3.1). Умножив первое и второе уравнения (1.2.7а) (с заменой v на ф) соответственно на фі и ф2, мы обнаружим, что квадраты собственных функций удовлетворяют соотношениям
(ф2)х + 2г'?ф2 = 2W2,
(1.5.1) (<fi)x - Hft = 2гф,ф2,
(ФіФг), = <7Ф« + ГЧРг 1.5. Оператор эволюции
57
Сравнивая, обнаруживаем, что квадраты собственных функций
удовлетворяют однородной части (1.2.8), т. е.
(1.5.2) Ax = qC — rB, Bx + 2it,B = — 2Aq, Cx — 2it? = 2Ar.
Таким образом, одно из решений однородной системы (1.2.8) имеет вид
Сф,ф2>
-ф2 ФІ'
Оставшиеся два решения находятся аналогично и имеют вид
(1.5.3Ь)
— ФіФі V Фа®2 /
Когда известны все решения однородного уравнения, то можно найти (методом вариации постоянной) общее решение неоднородных уравнений (1.2.8) (где qt, rt являются неоднородными членами). По причинам, которые были описаны в разд. 1.2, мы возьмем граничное условие для А, В, С в виде
(1.5.4) Л->Л_(?), В, C-S-O при |*|-»оо.
Можно было бы наложить более общие граничные условия, но здесь мы выберем именно эти, поскольку все эволюционные уравнения, выведенные в разд. 1.2 (при условии г, q-*-0 при Iх[ оо), удовлетворяют (1.5.4). Здесь мы изложим центральные идеи построения, лежащие в основании многих обобщений.
Так как мы потребовали выполнения (1.5.4) при х = ±°°, то система (1.2.8) не будет иметь решения, если не выполнены некоторые условия «ортогональности». Здесь мы только сформулируем результаты, а позже в этом же разделе приведем их вывод. С учетом того, что Г, <7~v0 при \х\ -> оо, должны выполняться следующие условия ортогональности:
