Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 18

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 164 >> Следующая


Обсудим теперь сдвиги фаз солитонов уравнения КдФвдвух-солитонном решении. Мы видели, что нормировочные константы в этом случае имеют следующую зависимость от времени:

t

(1.4.39) С (O = Coe т

(напомним, что Xm =— у?т < 0 являются собственными значениями). Из этого решения непосредственным вычислением получаем

(1.4.40) Д = det (I + С) = 1 + е* + еЦ! + е^+'Ч где

1In =-2^mix -4CO + Vo.

Vo = lnCo' еА„=( «1-Х« V

V Xi + И2 / 1.4. Зависимость от времени и частные решения

55

(отметим, что здесь определение г) отличается от данного в предыдущем разделе). Теперь сдвинемся вдоль траектории Лі = = const, предполагая для определенности, что k1 > к%. Тогда При /-»--оо Г|2-Э--оо, и мы имеем

(1.4.41) Л-І+еі', а при /-*--foo т]2-*+оо и

(1.4.42) А~(1 + еЧ'+^еЧ

Из (1.4.38) следует теперь, что вблизи характеристики Ti1 = Const решение q(x, t) при і-> ±оо представляется в виде

(1.4.43а) Я (х, О ~ 2x2/ch2 (rj, + ср±),

Ф+ = Л12, if>_ = О, фиксировано, /->±оо. Таким образом, взаимодействие не изменяет скорости и амплитуды солитона. Сдвиг фазы — это все, что происходит в результате взаимодействия. Из полученной формулы следует, что траектория солитона сдвигается на А12, или, точнее,

(1.4.43Ь) Аф = ф+-ф_ = 1п (??-)2.

Вообще для уравнения КдФ с каждым собственным значением Xp = — к2; Xj > к2 > ... > %N > О связан солитон, стремящийся при t -> ± оо асимптотически к

q ~ 2xp/ch2 (rjp + <р±). Сдвиг фазы Аф солитона дается формулой

(1.4.44) = ? In (^J-

т=р+1

EP_I In (%т ~ у~р Y

V Xm + Xp /

Ш = 1

Теперь совершенно очевидно, что общий сдвиг фазы есть сумма всех сдвигов, как если бы солитон р парно провзаимодействовал с каждым солитоном по отдельности (см. [525, 495, 474]). В общем случае вопрос о взаимодействии солитонов с решениями, отвечающими непрерывному спектру, изучался в работе [13].

В последней работе для общего сдвига фазы р-го солитона, возникающего в результате взаимодействия с другими солито-нами и непрерывным спектром, получена формула

(1.4.45) 9+-,_ = ,„{(4?.)'n(A)].

v m=l J 56

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

В (1.4.45) с+ обозначают „правые", а с~ — „левые" нормировочные коэффициенты; имеется в виду, что собственная функция определена следующим образом:

^xx + (и (х, 0) — х-р) ij) = 0,

J Cp?~V, х-* + оо, (1.4.46) ~ I CpeV1 X —* — оо,

OO

J ^dx= 1.

— OO

Когда отсутствует непрерывный спектр, сдвиг (1.4.45) сводится к jV-солитонной формуле, так как в случае чистого jV-солитон-ного решения мы имеем

«¦«¦«> WW-W 0(??/-

тфр

Если имеется только одно собственное значение и непрерывный спектр, то

(1.4.48) Ф+ - Ф- = I" (-?-) •

Эта формула была найдена Абловицем и Сигуром [26].

1.5. Общий эволюционный оператор. В этом разделе мы найдем общий класс нелинейных эволюционных уравнений, связанных с обобщенной задачей рассеяния Захарова — Шабата. Оказывается, что при некоторых условиях удается установить общие соотношения, позволяющие непосредственно описать класс интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. Эти соотношения зависят от закона дисперсии линеаризованной задачи и от некоторого интегро-дифференциального оператора. При выводе мы будем основываться на работе Абловица, Kayna, Нью-элла и Сигура [12].

1.5.а. Вывод общих эволюционных уравнений. Мы будем работать с уравнениями (1.2.7), (1.2.8) и с собственными функциями ф, ф, имеющими граничные условия (1.3.1). Умножив первое и второе уравнения (1.2.7а) (с заменой v на ф) соответственно на фі и ф2, мы обнаружим, что квадраты собственных функций удовлетворяют соотношениям

(ф2)х + 2г'?ф2 = 2W2,

(1.5.1) (<fi)x - Hft = 2гф,ф2,

(ФіФг), = <7Ф« + ГЧРг 1.5. Оператор эволюции

57

Сравнивая, обнаруживаем, что квадраты собственных функций

удовлетворяют однородной части (1.2.8), т. е.

(1.5.2) Ax = qC — rB, Bx + 2it,B = — 2Aq, Cx — 2it? = 2Ar.

Таким образом, одно из решений однородной системы (1.2.8) имеет вид

Сф,ф2>

-ф2 ФІ'

Оставшиеся два решения находятся аналогично и имеют вид

(1.5.3Ь)



— ФіФі V Фа®2 /

Когда известны все решения однородного уравнения, то можно найти (методом вариации постоянной) общее решение неоднородных уравнений (1.2.8) (где qt, rt являются неоднородными членами). По причинам, которые были описаны в разд. 1.2, мы возьмем граничное условие для А, В, С в виде

(1.5.4) Л->Л_(?), В, C-S-O при |*|-»оо.

Можно было бы наложить более общие граничные условия, но здесь мы выберем именно эти, поскольку все эволюционные уравнения, выведенные в разд. 1.2 (при условии г, q-*-0 при Iх[ оо), удовлетворяют (1.5.4). Здесь мы изложим центральные идеи построения, лежащие в основании многих обобщений.

Так как мы потребовали выполнения (1.5.4) при х = ±°°, то система (1.2.8) не будет иметь решения, если не выполнены некоторые условия «ортогональности». Здесь мы только сформулируем результаты, а позже в этом же разделе приведем их вывод. С учетом того, что Г, <7~v0 при \х\ -> оо, должны выполняться следующие условия ортогональности:
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed