Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Zjt - 2 тт -
JT і і I J tt I111J I I I ' ' I, ' ' ' ' , , і , ,
5 .x -5 ^ 5 x
-jt -
Ijr - 5 -
Ijt -
ж Ції Illl і і Illi
Zr'
\ (
6 -2тг -
Рис. 1.4. Типичное двухполюсное решение (1.4.30): (O)T = O-I; (б) T= 1.0; (в) T = 10.0.
(1.4.30)) и затем расщепляются в пару собственных значений —?* (этому случаю отвечает решение (1.4.28)). Функционал энергии
OO
(1.4.31а) E= J (4"К+ «*)+ 1 — cos«)d*
в случае кинка — антикинка, двигающихся в лабораторной системе координат со скоростью v (1.4.29), принимает значение
с 2Я0
(1.4.31Ь)
Vi - »2'
а в случае бризера (1.4.28), осциллирующего в лабораторной системе координат с частотой ю, имеем
(1.4.31с) E = 2Е0 Vl — и2,
где E0 — энергия кинка (1.4.26) с v = 0.
В этом месте, вероятно, следует еще раз подчеркнуть, что круг задач, обладающих такими солитонными решениями, весьма ограничен. Часто хорошей проверкой на интегрируемость заданного уравнения при помощи МОЗР является изучение взаимодействия двух уединенных волн. Если они взаимодействуют 2
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
неупруго, то обычно полагают, что уравнение не может быть решено методом обратной задачи рассеяния. Например, Абловиц, Краскал и Ладик [15J изучали уравнение
"и -Uxx-ArF (и) = О
для различных функций F(и), а именно;
sin и + X sin 2и,
!я/4, 2яп < и < (2п + 1) я, О, и = т,
— я/4, (2п +1)я<и<2(/г+ 1)я,
, "3
— ыН--Y-
' л2
Каждое из этих уравнений имеет частное решение в виде уединенной волны. Но только в случае Fi (и) с % = 0 (т. е. уравнения sin-Гордон) уединенные волны взаимодействуют упруго. Хотя при больших относительных скоростях казалось, что взаимодействие (X Ф 0) является упругим, тем не менее при малых относительных скоростях взаимодействие становилось очень существенным. При достаточно малых относительных скоростях уединенные волны в результате взаимодействия образовывали связанные состояния — квазибризеры.
Многие авторы численно изучали такие задачи (ранние работы сделали Забужский и Краскал [523], Хардин и Тапперт [198]. Обзор по этим работам можно найти у Элбека [146]. К этому направлению относятся также работы Кудрявцева [303] и Маханькова [344]).
По сравнению с обобщенной задачей для оператора Захарова— Шабата многосолитонные решения для оператора Шрё-дингера существенно менее разнообразны. В этом случае отсутствуют связанные многосолитонные решения, так как оператор является самосопряженным.
Далее мы получим Af-солитонные решения для уравнения КдФ. Мы будем следовать работе [172]. Для этого рассмотрим (1.3.37Ь), положив коэффициент отражения p{k) равным нулю. Воспользовавшись (1.4.16), мы получим, что К{х,у) удовлетворяет уравнению
(1.4.32) * (х, у) + ? de-*™ + j] X
m» 1 m=*l
OO
X \е~**гК{х, г) dz = 0.
x
F1 (и) = F2 (и) = F Ли) = 1.4. Зависимость от времени и частные решения 53
Представим К(х, у) в виде
N
(1.4.33) К(Х,У) = ~ Z Cm^m (X)
от=1
Подставляя (1.4.33) в (1.4.32), производя интегрирование и приравнивая нулю коэффициенты пще~ЧтУ, получим
Sevm/ -Mr
CmCAn(X) (Хя + Хт) =СтЄ п
/п=1
Пусть ?, ^ — вектор-столбцы с элементами сте Ит* и i|>m соответственно, а С является Л^Х^-матрицей с элементами
с с е~(%т+*п)х
^mn
Kn + ит
Перепишем уравнение (1.4.34а) в матричной форме (1.4.34Ь) (I + C)ty = E
(/ — единичная N X ^-матрица). Мы можем быть уверены в том, что уравнение (1.4.34Ь) имеет решение г|>, поскольку матрица С является положительно определенной, т. е.
N N ~{кт+*п)х N V
PrCP = ? ? pmcmcrep„ + = U ? pmCm<r ^ J >
/1=1 т=1 X чт=1 '
>0.
Решая уравнение (1.4.34b) по правилу Крамера, получим
N
(1.4.35а) ^(х) = Д-' ? Cme-x^Qmint
т=1
где А = det(/ + С), a Qrtm обозначают алгебраические дополнения элементов матрицы (I + С). Для А существует представление
(1.4.35b) А - ? (6nm + CmCre
Из (1.4.33) следует, что на характеристике х — у функция К(х, у) имеет вид
N N
(1.4.36) К(х, лг) = -Д-' ? Zc">c"e~{"m+"n)XQ™'
/71—1 /1-1 54
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Из того факта, что производная определителя является суммой определителей матриц, у которых продифференцирован один из столбцов, имеем
Z t-^—«-
т=1 /г=1
Таким образом, окончательный результат имеет вид
(1.4.37) К(х, х) = A-1^rA,
и, следовательно, потенциал
(1.4.38) q (X) = 2 -^r In А.
Такая форма представления потенциала была обнаружена многими исследователями (см., например, [270, 525, 211, 495]). Отметим, что такое представление справедливо и для более широкого круга задач, даже включающих вклады от непрерывного спектра [433]. Автомодельные решения также могут быть представлены в этой форме [22]. Кроме того, при некоторых дополнительных предположениях аналогичную форму можно придать решениям нелинейного уравнения Шрёдингера (см., например, Захаров, Шабат [544]).
Структура Л^-солитонного решения весьма проста; этот факт лежит в основании других, более прямых подходов, позволяющих строить частные решения, которые будут описаны в гл. 3 (см. метод Хироты в разд. 3.3). Но следует отметить, что эти методы в отличие от МОЗР не позволяют решать задачу с произвольными начальными данными.
