Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 19

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 164 >> Следующая


2,

(К5-5) Л [(- + 2А- ® С)! • Ф' ^ = 0

где

(,.6.е, *_(«)

и и • Ф, = гф2 + qq>l при и = | |и т, д. Условия ортогональности (1.5.5) определяют эволюционное уравнение. Чтобы это 58 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

показать, выведем вначале эволюционное уравнение для Фі (для Ф2 анализ проводится аналогично). Из (1.5.1) мы имеем

OO

(1.5.7) ф1ф2= J (q<pl + rq>1)dx.

— 00

Отсюда

= -2^ + W- №+

где введено обозначение

x

(1.5.9)

—00

Систему (1.5.8) можно переписать как операторное соотношение

с ,m Jf') I (-", + '-'lis ZH-O \СИ\

"-5-10' ЧфіГП 2г/_г a.-w,JU>

или просто

(1.5.11) = г = 1,2 ((1.5.11) верно также и для Ф2), где

(1.5.12) * + 2^ V

2' V -2rl_r дх - 2rl_q)

Здесь S — интегро-дифференциальный оператор, действующий на Ф. Если Л-(S) — аналитическая функция, то

(1.5.13) Л_©Ф; = Л_(^)Фг

внутри радиуса сходимости. В этом случае условия ортогональности (1.5.5) немедленно дают

(1.5.14) J ¦ Ф* + 2 • O1 j </jc = 0. /=1,2.

Теперь задача состоит в том, чтобы заменить оператор A-(S1)1 действующий на Ф/, сопряженным оператором, который действует на вектор (r,q)T (Т обозначает транспонирование).

Для этого определим скалярное произведение обычным

OO

образом: (u, v>= J u-vdx. Оператор Za, сопряженный к S 1.5. Оператор эволюции 59

(это не эрмитово сопряжение),определяется соотношением <2"и, v> = <u, j?v>. Типичными примерами служат: (І) сопряженным к дх является —дх (при убывающих граничных условиях для u, v); (іі) для квадратной матрицы M = [т,-;] сопряженной является транспонированная матрица MA = [mfi]. Найдем оператор, являющийся сопряженным к скалярному оператору L = = a(x)/_?(jc). Действуя по определению и изменяя порядок интегрирования, получим

OO x

(и, a/_?i>) = Ц dxu (*) а (*) ^ dy ? (у) v (у) =

— OO — OO

OO OO

= \ dy? (у) V (у) ^ dxa (х) и (х).

-OO у

Отсюда видно, что

OO

Iа =?1+а= ?(x)\dy а (у).

x

Используя этот результат и (1.5.14), получим

(1.5.15а) J + -^dx = 0' г'=1-2» где

П5 15Ы ^_±(dx + 2rl+q IrljrT ч

(1.5.15b) *-2i[2qI+q —дх — 2ql+r)

и Л_ (^4) действует только на ^ Таким образом, достаточными условиями разрешимости (1.2.8) с граничными условиями Л-^-Л-(^), В, C-* О при |л:|-*-оо являются уравнения

(1.5.16а) f^ + 2A_(?A) Q = О,

или в матричной форме

(1.5.16b) Cr3Ui + 2Л_ (SBa) u = О,

где

-G-?)- -О-

Итак, мы пока что лишь показали, что условия (1.5.16) являются достаточными для выполнения условий ортогональности 60

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

(1.5.5). Они являются также и необходимыми, так что (1.5.16) представляет собой наиболее общую систему эволюционных уравнений, интегрируемую посредством представления (1.2.7) при следующих условиях: (i) qО, Л->-Л_(!;), В-*- О, C-* 0 при |.к| ->• оо; (И) г = ±<7*; (Hi) Л_(?) —целая функция. Это утверждение вытекает из того факта, что любое эволюционное уравнение имеет-решения с произвольно малой нормой ^ \q | dx. Если

интеграл ^ \q\dx достаточно мал, то из (1.3.16) следует отсутствие связанных состояний. Kayn [258] показал, что при отсутствии связанных состояний функции Фь Фг образуют полный набор. Поэтому из (1.5.15) следует уравнение (1.5.16), которое является наиболее общим эволюционным уравнением, что и утверждалось. Аналогичное рассуждение применимо в случае, когда функция А_ (?) является отношением целых функций, но при этом эволюционные уравнения содержат дополнительные связи (см. [12]).

Важно, что А_(?) можно связать с дисперсионным соотношением соответствующей линеаризованной задачи. В пределе



(напомним, что !+=^dyj

^ x '

±(д» о ч 2i Io -дхУ

Следовательно, в этом пределе мы получаем распадающуюся систему

(1.5.17) \

-qt + 2A_ Ofdx) q = 0.

Система (1.5.17) является линейной, и ее можно решить при помощи преобразования Фурье. Волновое решение q = — ехр (г (kx — u>q (k) t)), г = ехр (г (kx — cor (k) t)) приводит к условиям

(1.5.18) Л_ (0 = ^r ю, (-2Q = - Щ (20-

а) Это означает, что установлена связь между Л_(?) и дисперсионным соотношением соответствующей линеаризованной задачи (1.5.17). Таким образом, общее эволюционное уравнение (1.5.16) выражается через дисперсионное соотношение линеаризованного уравнения и оператор SSa ^cm. (1.5.15)). 1.5. Оператор эволюции

62

b) Существует требование, которое необходимо наложить на вид линеаризованной системы уравнений (на г, q), чтобы ее можно было решить посредством МОЗР.

С учетом этих результатов общее эволюционное уравнение (1.5.16) принимает вид

(1.5.19) CT3U^ — /со (— 2&А) и = 0,

где u>(k) определяется из линеаризованной задачи. Примером является нелинейное уравнение Шрёдингера iqt = qxx ± 2q2q*, линеаризация которого имеет вид iqt = qxx. Полагая q = = exp(ikx — mt), мы найдем ю(?) =—k2. Из (1.5.19) следует

(1.5.20)

l\qxx — tq2r)'

Когда г = ±<7*, эта система совпадает с нелинейным уравнением Шрёдингера (1.2.11).

Вывод соотношения (1.5.19) требует условия г, q-+ 0 при 1*1 -*¦ OO. Мы не можем просто положить г = —1, чтобы получить аналогичный результат для оператора Шрёдингера (1.2.20). В этом случае общее эволюционное уравнение, которое нашли Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [12, приложение 3], имеет вид
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed