Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
1.6. а. Законы сохранения. Вначале построим бесконечный набор сохраняющихся величин для нелинейного уравнения Шрёдингера и всех остальных уравнений, связанных с задачей (1.2.7); при этом мы воспользуемся методом, предложенным Захаровым и Шабатом [544]. Напомним, что если (фь фг) является решением уравнения (1.2.7а), удовлетворяющим граничному условию (1.3.1), то при Im ? ^ 0 функция аналитична и
стремится K 1 при ІСІ-*"00. Кроме того, существует предел
(1.6.1) a (S) = Iim
X -> оо
обладающий этими двумя свойствами и не зависящий от времени. Исключим ф2 из (1.2.7а) и подставим
(1.6.2) Фі = exp {— i?x + ф}
в уравнение. В результате мы получим уравнение Риккати для й = Ф*:
(1.6.3) 2= 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 69
Поскольку ф стремится к нулю при |?|->оо (Im?>0),' мы можем представить
OO
Htt (X, t)
(1.6.4) ^ = (2?-1^
WDn ¦
п=-0
Подставляя (1.6.4) в (1.6.3), получим
1*о= — qr, Ці = — qrx, 16 П~1
ft =O
Из (1.6.1) и того факта, что ср стремится к нулю при х-следует, что
OO
(1.6.6а) 1па(?) = ф(* = + оо) = ? -таг.
п-О (
где
(1.6.6b) Cn = J \indx.
— OO
Но In а(?) не зависит от времени (при всех ?, Im ? > 0), так что Cn также должны быть независимыми от времени. Таким образом, несколько первых (глобальных) интегралов движения имеют вид
C0 = J {— V) dx, C1= ^ {— qrx} dx, (1.6.7) C2 = J {- qrxx + (qr)2} dx,
C3 = \ {- qrxxx + 4q2rrx + r2qqx} dx.
Если г пропорционально q, то по индукции легко получить, что C2n+1 = 0. Отметим, что при выводе мы не использовали (1.2.7Ь), поэтому эти интегралы являются сохраняющимися для любого уравнения, разрешимого посредством (1.2.7), т. е. для любого уравнения вида (1.5.16).
В локальной форме законы сохранения (и плотности, и потоки) можно получить родственным методом, предложенным в работе [287], используя оба уравнения (1.2.7а) и (1.2.7Ь) (см. также [494, 193]), В этом методе после исключения фг подстав- 70 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
ляем (1.6.2) в оба уравнения (1.2.7а, b). В результате получим (1.6.8а) 2i®x = <fl-qr + q(^)x,
(1.6.8b) % =
Определив |д = фх, мы увидим, что (1.6.8а) совпадает с (1.6.3) и можно вновь воспользоваться (1.6.4), (1.6.5). Подставляя (1.6.4) в продифференцированное по х равенство (1.6.8Ь), получим
Конкретное эволюционное уравнение задается подходящим выбором А и В. После этого законы сохранения следуют из (1.6.9); для их получения следует приравнять коэффициенты при (2iQ ~п и воспользоваться (1.6.5). Например, если
r = <sq*, сг = ±1,
(1.6.10) А = — 2г?2 — io\q \2, B = 2& + iqx,
эволюционное уравнение имеет вид
(1.6.11) iqt + qxx-2a\q\2q = 0,
и (1.6.9) превращается в
И-6.І2) 0,|?_її_Д + г,5,|2ї»-М|,
При п —1 коэффициенты при (2it,)-" равны нулю; при п ^ 0 находим
n = 0, dt{\qf) + idx{qq\-q'qx}^
(1-6-1?" dt{-qq\) + idx{\qxf-qq\, + o\qr} = Q
и т. д. Сохраняющиеся плотности совпадают для всех уравнений вида (1.5.16), но соответствующие им потоки зависят от рассматриваемого уравнения.
Отметим, что этот вывод законов сохранения применим как в случае бесконечного (по х) интервала, так и в периодическом (см. разд. 2.3) случае. Это означает, что локальные законы со-
+ 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 71
хранения справедливы при любых граничных условиях. При этом подходе совсем не использовалась задача рассеяния.
Законы сохранения, связанные с задачей рассеяния для оператора Шрёдингера (1.2.20), можно получить аналогичным образом [383, 532]. Подстановка v = exp(cp + ikx) превращает (1.2.20а) в уравнение Риккати для ф*
(1.6.14а) (<рх)х + (фх)2 + q + 2ik<px = Oi
а (1.2.20Ь) переходите
(1.6.14b) vt = A + {<fx + ik)B.
После разложения ц — срх по обратным степеням (2ik)t
OO
(1.6.15) ^(gr,
п-1
мы обнаружим (из (1.6.14а)), что цгп являются полными производными и что
Hi = — д, Из = — (<?2 + Чхх)>
(1.6.16)
^«+1 = L VpVn-p + дх (ц„), 2.
P=I
Последние величины являются плотностями законов сохранения. В локальной форме законы сохранения для уравнения КдФ можно получить, подставив
A = qx, B = Ak2-Iq
в выражение (1.6.14Ь), продифференцированное по х. Воспользовавшись (1.6.15, 16), получим
(1 -6.17а) jf) ^r I = dx I Чх + (4k2 - 2q) Ar - .
Нетривиальные законы сохранения представляют собой коэффициенты при нечетных степенях k\
k~l<dt{q} = -dx{3q2+qxx},
dt {<?2 + qxx} = -дх {4q3 + Sqqx - 5qf - qxxxx).
Из (1.6.6) видно, что при известных интегралах движения функция 1па(?) также является известной при Im ? > 0. Теперь мы выведем формулы следов, появившиеся впервые в работе Захарова и Фаддеева (1971) [532] для уравнения КдФ. Они позволяют выразить интегралы движения через а(?) и будут использоваться в этом разделе и в разд. 1.7. При выводе мы бу- 72
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
дем следовать работе Захарова и Манакова [534]; см. также [162, 281].
Напомним, что ci(z1) является аналитической функцией при Im ? > 0, имеющей конечное число нулей (при т= 1, ..., N), и а(?)-»1 при I-^oo, Im? > 0. Мы также предполагаем, что (і) нули являются простыми, (ii) они не лежат на вещественной оси, (ІІІ) при вещественных I функция In a (?)-+0 при 1Ц-+00 для любого я ^ 0. Пусть
