Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 21

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 164 >> Следующая


-OO OO

A_{t)2ab = J (-ф^ + ф^)^.

— оо

Из определений данных рассеяния и из задачи рассеяния можно установить равенства

OO OO

S (ф^г)* dx = S (q<f>l + rq>J)dx=ab,

— OO —OO

OO OO

(1.5.32) J (%%)x dx = S Ш + 'Ф?) dx = - ab,

-OO -OO

OO OO

^ (Ф1Ф2 + Ф2Ф1)* dx = 2 jj (<7ф2ф2 + "Ріфі) dx = ай — bb — 1,

— 00 —00

воспользовавшись которыми с учетом (1.5.31) получим

ОО OO

5 (<p?rt - ф\qt) dx = -2A_ (О J (<?ФІ + Гф2) dx,

— 00 —00

OO OO

(1.5.33) J (ф^ - ф2qt) dx = -2A_ (S) J (qq\ + гф?) dx,

-OO —00

OO CO

5 (Ф1Ф1О — ф2<Мі) dx = — 2(S) ^ (<7Ф2ф2 + ГФ1Ф1) dx.

— 00 —00

Таким образом, определяя квадраты собственных функций 0.5.8«) Ф, _(J); «,-(Jj). =

мы получим, что (1.5.33) сводится к

OO

(1.5.35) J = i=l> 2> 3'

3 Зак. 114 где

(1.5.36b)

66 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

т. е. к (1.5.5). Это соотношение было по существу отправным пунктом нашего построения общего эволюционного оператора.

Следует отметить, что вместо квадратичных комбинаций фг, ф,- в (1.5.35) мы могли бы найти аналогичные выражения через переменные ірі, грі, проинтегрировав (1.5.28) от +оо до х и воспользовавшись соответствующими равенствами при х=+оо. Мы бы получили

OO

(1.5.36а) J (о3щ + 2Л_ (?) и) W1 dx = О,

— оо

(1.5.36с) »,-(J. ».-(^J

Перейдем теперь к краткому обсуждению вопроса о полноте квадратов собственных функций. Kayn [258] показал, что набор lFi, Ч^, определенный в (1.5.36с), не является полным. Для того чтобы получить полноту, к нему следует добавить_два вектора

W3, взятых в точках дискретного спектра t,n}1= ,> ')

Эти результаты позволяют построить разложения некоторых комбинаций исходных потенциалов и получить ряд простых выражений. В частности, используя xP,-, получим

OO _

(1.5.37) (_<7) = ~т ${4(g) 4^*' ?) + 4(1)4^(*. o}^+

^ ^ ' -OO

N b W b + 2/ у -f W1 (х, ZJ - 21 У -? W2 (х, V ak V ak

Точно так же, воспользовавшись присоединенными собственными функциями, можно показать, что

(1.5.38)



>) Полноту квадратов собственных фукций впервые обнаружил и использовал Kayn (1976а) [258]. В [2*] дано строгое доказательство теоремы о полноте квадратов собственных функций и построена спектральная теория оператора L. Другие приложения и дальнейшее развитие этого подхода заинтересованный читатель может найти в работах [3*—5*]. —Прим. перев. 1.5. Оператор эволюции

67

Отметим также, что аналогичную теорию можно построить и для оператора Шрёдингера (см. [267, 285]). В этом случае разложение потенциала по квадратам собственных функций имеет вид

=O N

(1.5.39) q(x, O=^ kp(k) ^2 {х, 6)Gf6-4?viM52(*. щ),

-OO і = 1

где Yj = ^ijafl и и. является і-м дискретным собственным значением. Уравнения (1.5.37—39) явились отправной точкой работы Дейфта, Лунда и Трубовица [135], которые рассматривали уравнения обратной задачи как задачу о бесконечном наборе осцилляторов, лежащих на поверхности бесконечномерной сферы.

Отметим, что другой вывод общего эволюционного уравнения (1.5.16, 21) был дан Калоджеро и Дегасперисом в серии работ (см,, например, работу Калоджеро [89] и приведенные в ней ссылки). Задачу рассеяния для оператора Шрёдингера (так же как и в случае оператора Захарова — Шабата из разд. 1.3) можно переписать в виде интегрального уравнения и выразить коэффициент отражения через интеграл от потенциала и собственной функции:

оо

(1.5.40) 2ikp (k) = $ <7(*Ж*, k)e~ikxdx.

— OO

Более общая формула для двух потенциалов q\(x) и 92(*) имеет вид

(1.5.41) 2/fc [р, (fc) — р2 (?)] = ^ Ы*> b)[qx [х) — q2{x))$2{x, k)dx,

она сводится к (1.5.40) при q2 = 0. Калоджеро и Дегасперис получили различные обобщения формулы (1.5.41). Важно отметить, что q\ (х) и q2 (х) являются независимыми.

Если q(x, t) удовлетворяет некоторому эволюционному уравнению, мы можем положить qi(x) = q(x,t0), q2 (x) = q (х, to + + AO и устремить A^-+0. Тогда (1.5.41) свяжет dtp и dtq, а соотношения типа (1.5.41) позволят вывести (1.5.21), т. е. общее эволюционное уравнение для (1.2.20). Этот подход не имеет заметных преимуществ по сравнению с уже описанным. Калоджеро и Дегасперис получили следующие обобщения: (і) (1.2.20) изучалась для матричных N УС N уравнений; (и) предполагая q — q(x, t, у), можно получить многомерные эволюционные уравнения. Кроме того, используя этот подход, Чью и Ладик [109] получили общее эволюционное уравнение для дискретной задачи рассеяния, которая будет обсуждаться в разд. 2,2.

3* 69

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

1.6. Законы сохранения и полная Интегрируемость. Одной из наиболее важных удач на ранней стадии развития МОЗР было открытие бесконечного набора локальных законов сохранения у уравнения КдФ (Миура, Гарднер, Краскал (1968) [383]). Это открытие вместе с аналогичными результатами для мКдФ привело к преобразованию Миуры, связывающему решения этих двух уравнений и в конце концов к задаче рассеяния для оператора Шрёдингера (1.2.20). В этом разделе мы покажем, что существование бесконечного набора сохраняющихся величин является прямым следствием того факта, что a(k) (коэффициент прохождения в минус первой степени) не зависит от времени. Сохраняющиеся величины возникают как коэффициенты асимптотического разложения по выражения 1па(&) при &->оо. Кроме того, их просто выразить через данные рассеяния (формулы следов); это будет использоваться в разд. 1.7 и 4.5. И наконец, мы покажем, что нелинейные эволюционные уравнения, для которых In а не зависит от времени, являются вполне интегрируемыми гамильтоновымн системами и что МОЗР является каноническим преобразованием к переменным типа действие — угол, причем In |а| является переменной типа действия. Для удобства изложения мы в основном будем изучать системы вида (1.5.16), связанные с задачей (1.2.7). Вычисления аналогичны проделанным для систем, связанных с (1.2.20), поэтому мы ограничимся формулировкой результатов.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed