Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 23

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 164 >> Следующая


N «

(1.6.18а) <х(?) = а(?) Д

т— 1

а(?) обладает теми же свойствами, что и а(?), но не имеет нулей в верхней полуплоскости. Функция а(?) аналитична в нижней полуплоскости, а

? t-V

(1.6.18b) й(о = а(оПтгг.

аналитична и не имеет нулей при Im ? :? О, и в этой области й-+ 1 при |?| оо. Согласно теореме об интеграле Коши, имеем (для Im ? > 0)

¦ If 'na(l)

lna^=IST і T=Tdl' — 00

0-i SW*

Складывая эти равенства, получим при Img > О (1.6.19) Inaft)= У Inf Lzls.) + Г

Если далее предположить, что r=±q*, то выражение упростится:

Теперь перейдем к пределу J ? I —+ оо (оставаясь в верхней полуплоскости) и разложим правую часть (1.6.19) по обратным сте- 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 73

пеням В результате получим

С1-6-2«) Ina(E)-E Г(п+1,{ ? <»+ ^-'[(СГ'-^Г1]-

n=0 I т=1 _

- <2»«"' .[«• [¦-® ¦+ Ь+Ь'»йі]} ••

Это разложение должно совпадать с (1.6.6). Приравнивая коэффициенты при степенях получим [п = 0, 1,2...)

°° Г N ? — ?*

(1.6.21а) Cn = — J (2ЦГ Inaa(I)+ ?In jzr^ +

-оо L і

+ Eln frl+ І+1)_1 [W+1 -

T 6-W J m-I

Если г = ±q*, то выражение для Cn упростится:

OO

(1.6.21b) Cn = - -1 J (2/6)" In I а (!) I2 +

— OO

+ f> + Ir1^cr1-(2^r+1l-

m=l

Кроме того, N = O, если г = -(-^* и q ^ Lx. Мы получили так называемые «формулы следов» для (1.2.7) при г = ±9*. Они связывают бесконечную серию интегралов движения С п с моментами In I a (I) I и степенями дискретных собственных значений оператора. Еще раз подчеркнем, что эти формулы справедливы для любого уравнения (1.5.16) при г = ±q*.

Для оператора Шрёдингера данные рассеяния состоят из {р(А), k вещественно, ил, Cn, п = 1, ..., N}. Соответствующие формулы следов могут быть представлены следующим образом

OO

[532]. Определим Cm= ^ \imdx, где цт определено в (1.6.15).

-OO

Тогда

її

(1-6.22) ^=^-^( 2x„r+1 +

Tl= 1

т 00

+ blL J (2kfm in {1 — |р (k) |2} dk,

— 00

с2т " 74

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

1.6. Ь. Полная интегрируемость. Рассмотрим теперь одно из наиболее фундаментальных описаний МОЗР: уравнения, которые можно решить при помощи МОЗР (например, (1.5.16)), являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами, и МОЗР позволяет построить каноническое преобразование от физических переменных к бесконечному набору переменных типа действие — угол. Основной вопрос этого раздела состоит не в том, какие новые задачи можно решить с помощью МОЗР, а скорее его можно сформулировать так: «Почему же МОЗР работает?»

Описание МОЗР как канонического преобразования к переменным действие — угол было впервые дано для уравнения КдФ в работе Захарова и Фаддеева (1971) [532], последовавшей вскоре после работы Гарднера (1971) [171]. Для нелинейного уравнения Шрёдингера аналогичные результаты получили Tax-таджян [471] и Захаров и Манаков [534]. Результаты последней работы послужили основой для обобщений, полученных многими авторами (см., например, [162, 281, 370, 160]). Приведенный здесь вывод опирается на все эти работы, несмотря на небольшие расхождения полученных в них результатов.

Мы начнем с рассмотрения основных понятий и обозначений гамильтоновой механики, которые потребуются для формального обобщения на бесконечномерный случай. (Читатель, не знакомый с гамильтоновой механикой, может для справок обратиться к книгам Голдстейна [188] или Арнольда [44].) Пусть p{x,t, a), q(x,t,$) будут аналитическими по х функциям (—оо <С X <. оо), быстро убывающим при \х\ сю при любых значениях (t, а, ?) из области определения. Пусть

OO

H (р, q, і)= ^ h{p(x, і, a), q(x, t, ?)} dx

— OO

будет комплекснозначным функционалом от р, q и их производных по х. Его функциональная (Фреше или вариационная) производная ЬН/Ьр определяется формулой

OO

— оо

6H/6q имеет аналогичное определение.

Пример. Из тождества

OO

РІУ)= \ & (X - у) P (х) d.v — 00 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость

75

следует, что

бP (У)

бp (x)

¦¦ б (х — у),

где б (х) —дельта-функция Дирака.

В рассматриваемых нами случаях h (в (1.6.23) будет бесконечно дифференцируемой функцией от (р, q) и их *-производ-ных,- Прямым вычислением получим

OO

(,.6.24)

п=0

Для некоторых приложений удобно определить р = <fx\ тогда тождество

,jg 25} 6Я __ д 6Я

\ ' ' ' 6ф дх Ьр

следует из того факта, что h зависит только от производных (р и не содержит самой (р.

Определение. Динамическая система является гамильтоно-в.ой, если возможно ввести координаты [<?], импульсы [р] и гамильтониан [Н(р, q, /)] таким образом, что уравнения движения системы могут быть записаны в виде

/і с ос и\ dq ЬН dp OH

(1.6.26а, b) -Of = -Tp-' W = -Sf

Уравнения (1.6.26) являются уравнениями Гамильтона, а переменные (р, q) называются сопряженными. Имеются обобщения (1.6.26), но для наших целей этого определения вполне достаточно; см. также (1.6.31). Пример. Система

(1-6.27) , 0 .

Wt + qxx — 2q2r = О,

Irt — г xx + 2 qr2 = О

является гамильтоновой. Это можно увидеть, отождествляя:
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed