Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
N «
(1.6.18а) <х(?) = а(?) Д
т— 1
а(?) обладает теми же свойствами, что и а(?), но не имеет нулей в верхней полуплоскости. Функция а(?) аналитична в нижней полуплоскости, а
? t-V
(1.6.18b) й(о = а(оПтгг.
аналитична и не имеет нулей при Im ? :? О, и в этой области й-+ 1 при |?| оо. Согласно теореме об интеграле Коши, имеем (для Im ? > 0)
¦ If 'na(l)
lna^=IST і T=Tdl' — 00
0-i SW*
Складывая эти равенства, получим при Img > О (1.6.19) Inaft)= У Inf Lzls.) + Г
Если далее предположить, что r=±q*, то выражение упростится:
Теперь перейдем к пределу J ? I —+ оо (оставаясь в верхней полуплоскости) и разложим правую часть (1.6.19) по обратным сте- 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 73
пеням В результате получим
С1-6-2«) Ina(E)-E Г(п+1,{ ? <»+ ^-'[(СГ'-^Г1]-
n=0 I т=1 _
- <2»«"' .[«• [¦-® ¦+ Ь+Ь'»йі]} ••
Это разложение должно совпадать с (1.6.6). Приравнивая коэффициенты при степенях получим [п = 0, 1,2...)
°° Г N ? — ?*
(1.6.21а) Cn = — J (2ЦГ Inaa(I)+ ?In jzr^ +
-оо L і
+ Eln frl+ І+1)_1 [W+1 -
T 6-W J m-I
Если г = ±q*, то выражение для Cn упростится:
OO
(1.6.21b) Cn = - -1 J (2/6)" In I а (!) I2 +
— OO
+ f> + Ir1^cr1-(2^r+1l-
m=l
Кроме того, N = O, если г = -(-^* и q ^ Lx. Мы получили так называемые «формулы следов» для (1.2.7) при г = ±9*. Они связывают бесконечную серию интегралов движения С п с моментами In I a (I) I и степенями дискретных собственных значений оператора. Еще раз подчеркнем, что эти формулы справедливы для любого уравнения (1.5.16) при г = ±q*.
Для оператора Шрёдингера данные рассеяния состоят из {р(А), k вещественно, ил, Cn, п = 1, ..., N}. Соответствующие формулы следов могут быть представлены следующим образом
OO
[532]. Определим Cm= ^ \imdx, где цт определено в (1.6.15).
-OO
Тогда
її
(1-6.22) ^=^-^( 2x„r+1 +
Tl= 1
т 00
+ blL J (2kfm in {1 — |р (k) |2} dk,
— 00
с2т " 74
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
1.6. Ь. Полная интегрируемость. Рассмотрим теперь одно из наиболее фундаментальных описаний МОЗР: уравнения, которые можно решить при помощи МОЗР (например, (1.5.16)), являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами, и МОЗР позволяет построить каноническое преобразование от физических переменных к бесконечному набору переменных типа действие — угол. Основной вопрос этого раздела состоит не в том, какие новые задачи можно решить с помощью МОЗР, а скорее его можно сформулировать так: «Почему же МОЗР работает?»
Описание МОЗР как канонического преобразования к переменным действие — угол было впервые дано для уравнения КдФ в работе Захарова и Фаддеева (1971) [532], последовавшей вскоре после работы Гарднера (1971) [171]. Для нелинейного уравнения Шрёдингера аналогичные результаты получили Tax-таджян [471] и Захаров и Манаков [534]. Результаты последней работы послужили основой для обобщений, полученных многими авторами (см., например, [162, 281, 370, 160]). Приведенный здесь вывод опирается на все эти работы, несмотря на небольшие расхождения полученных в них результатов.
Мы начнем с рассмотрения основных понятий и обозначений гамильтоновой механики, которые потребуются для формального обобщения на бесконечномерный случай. (Читатель, не знакомый с гамильтоновой механикой, может для справок обратиться к книгам Голдстейна [188] или Арнольда [44].) Пусть p{x,t, a), q(x,t,$) будут аналитическими по х функциям (—оо <С X <. оо), быстро убывающим при \х\ сю при любых значениях (t, а, ?) из области определения. Пусть
OO
H (р, q, і)= ^ h{p(x, і, a), q(x, t, ?)} dx
— OO
будет комплекснозначным функционалом от р, q и их производных по х. Его функциональная (Фреше или вариационная) производная ЬН/Ьр определяется формулой
OO
— оо
6H/6q имеет аналогичное определение.
Пример. Из тождества
OO
РІУ)= \ & (X - у) P (х) d.v — 00 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость
75
следует, что
бP (У)
бp (x)
¦¦ б (х — у),
где б (х) —дельта-функция Дирака.
В рассматриваемых нами случаях h (в (1.6.23) будет бесконечно дифференцируемой функцией от (р, q) и их *-производ-ных,- Прямым вычислением получим
OO
(,.6.24)
п=0
Для некоторых приложений удобно определить р = <fx\ тогда тождество
,jg 25} 6Я __ д 6Я
\ ' ' ' 6ф дх Ьр
следует из того факта, что h зависит только от производных (р и не содержит самой (р.
Определение. Динамическая система является гамильтоно-в.ой, если возможно ввести координаты [<?], импульсы [р] и гамильтониан [Н(р, q, /)] таким образом, что уравнения движения системы могут быть записаны в виде
/і с ос и\ dq ЬН dp OH
(1.6.26а, b) -Of = -Tp-' W = -Sf
Уравнения (1.6.26) являются уравнениями Гамильтона, а переменные (р, q) называются сопряженными. Имеются обобщения (1.6.26), но для наших целей этого определения вполне достаточно; см. также (1.6.31). Пример. Система
(1-6.27) , 0 .
Wt + qxx — 2q2r = О,
Irt — г xx + 2 qr2 = О
является гамильтоновой. Это можно увидеть, отождествляя:
