Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
OO
-Jr J a (fe)e'" <**-«><*>'> fite.
-OO
Здесь
ш (6)=-2м: (--§-). 1.4. Зависимость от времени и частные решения
45
Когда г = -+-q*, функция Л_(|) является чисто мнимой, и
Так, например, в случае нелинейного уравнения Шрёдингера (1.2.11) из (1.2.12) имеем Л_(?) = Iim A (S) = 2?2, и поэтому
Oi(S)=—S2 (что соответствует дисперсионному соотношению для линеаризованного уравнения — уравнения Шрёдингера).
Перед тем как перейти к описанию частных решений, мы для примера приведем зависимость от времени данных рассеяния для уравнения КдФ (1.2.23). Аналогичные рассуждения для оператора Шрёдингера приводят к следующей зависимости данных рассеяния (определенных в (1.3.35)) от времени:
Дискретные собственные значения являются нулями функции a(k, t) в верхней полуплоскости и поэтому не зависят от времени. Коэффициент отражения p(k, t) =b(k, t)/a(k, t) зависит от времени очевидным образом. Отметим, в частности, что зависимость от времени коэффициента отражения в случае уравнения КдФ такова, что dp/dt = —8m(k)p (при этом равенство со(?) = —ks совпадает с дисперсионным уравнением линеаризованного уравнения КдФ (qt + qxxx = 0)).
В случае оператора Шрёдингера можно показать (см., например, [136]), что дискретные собственные значения, т. е. нули функции a(k), являются простыми и лежат только на мнимой оси. Более того, нетрудно показать, что нормировочные константы, входящие в (1.2.37), положительны. Поэтому мы будем записывать
Положительность нормировочных коэффициентов можно установить следующим образом. Будем предполагать, что все функции аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость. Затем для собственного значения Rn — ік„ при х-+ +оо имеем
i x i oo
a (k, t) = a (k, 0), Ь (k, t) = b (k, 0) еыкч,
С„(0=С„,0е8и"', п= 1.....N.
(1.4.11)
(1.4.12)
-?- ф (иЛ) ~ а' (*„) ~ a' (kn) А*,
dk
d
где коэффициент Cn с необходимостью является вещественным. 46
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Но при всех x справедливо равенство
d
(1.4.13) __(фАфх_ ффл;А) = _:2х„ф2.
Подставив асимптотику (1.4.12) в левую часть (1.4.13), получим
(1.4.14) а'(*„) = ¦
таким образом,
(1.4.15) -ICn
dx
Cn
iCn Сп
а' (х„)
dx
сум-
OO
(обычно J ф2ndx нормируется на единицу). Итак, конечную — 00
му в ядре уравнения Гельфанда — Левитана (1.3.37) можно представить в виде
(1.4.16) Fd(X) = ? Я® е-*'*,
і=і
4 .,fit
где cn (t) = cn (O) е ".
Получив зависимость данных рассеяния от времени, мы можем теперь обсудить решение нелинейных эволюционных уравнений и их свойства. В этом разделе мы обсудим многосолитон-ные решения, а в разд. 1.7 будет рассмотрена асимптотика задачи Коши, отвечающая непрерывному спектру.
Вначале мы вернемся к задаче на собственные значения для оператора Захарова — Шабата (1.2.7а). Когда г = q*, собственные значения отсутствуют. В этом случае задача на собственные значения является самосопряженной, т. е. задача рассеяния такова, что LV = rQV, Lh= (La)* = L, где Lh — эрмитово сопряженный к L оператор, La сопряжен с L. Если q, г убывают достаточно быстро, то собственные значения должны быть непременно вещественными и по этой причине отсутствуют. Остановимся поэтому на случае г = —q*. Здесь нам следует воспользоваться уравнением (1.3.29). Выберем F(x) таким, чтобы (b/a) (t = 0) =O (отсутствует рассеяние) и N = 1. Имеется одно дискретное собственное значение. Тогда (опуская для удобства зависимость от времени)
(1.4.17) F(x) = -ice^x, ? = 6+tri, Ц >0. 1.4. Зависимость от времени и частные решения 47
Подставив (1.4.17) в (1.3.29), получим
(1.4.18) КЛх, у) = іс*е-К'(х+м -
OO 00
- J ^K1 (X, z)\cfe^zeis^-^e-^ydsdy.
— x x
оо
Определим K1 (х) = J КЛх, z)ei&dz. Умножим (1.4.18) на е*«
x
и проинтегрируем OT X ДО оо. Это приводит к уравнению для (X), решение которого имеет вид
c,ei (1-2V) *
(1.4.19) K1(X) = - (Е_Р)[1_|сРв2'«-о-п»] ' Из (1.4.18) теперь следует, что
(1.4.20а) КЛх, y) = icW(x+t»[l - е8".
Таким образом, потенциал q(x) имеет вид
(1.4.20b) q (X) = -2/Ci (*, *) = - --УГ'Г* , •
Полагая | с |2/4if = получим
(1.4.20с) q (х) = - t-j^j-2r]e-2t5*/ch (2г]Х - 2ф).
Эта формула дает солитонное решение любого эволюционного уравнения с г = —q*, разумеется при учете обсуждавшихся выше условий А -»- /4_(?) и т. д., которые приводят к определенной зависимости с = c(t) от времени:
(1.4.21) c = c0e~2A~{i)t. Таким образом, q(х, і) имеет вид
(1.4.22) q (х, і) = 2це~ііх е21 Im ' X
X e~l №«+"'2)/ch [2ч\х + 2 Re (І) і - х0],
где c0 = I C01 X0 = Inl с0 \j2r\. В случае нелинейного уравнения Шрёдингера (1.2.11) Л_(|) = 2і?2 и
(1.4.23) q(x, t) = 2це-21*>х eW-^'-'^+m /ch(2x)x -8%ї){ - х0)
(см. рис. 4.16). Отметим, что скорость солитона равна 4|, а ам рлитуда 2т). 48
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Следует отметить, что в общем случае (когда между q, г нет никакой связи) в решении за конечное время может возникнуть особенность. Пусть у нас имеется одно собственное значение S в верхней полуплоскости и одно (?)—в нижней. Аналогом (1.4.17) будет
