Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
координаты (q) с q(x, t), импульсы (р) с г (х, /),
OO
гамильтониан (H) с — / ^ {qxrx + (qr)2} dx.
— 00
Если при t = О г(х, 0) = ±q*(x, 0), то из уравнений (1.6.27) следует, что это соотношение справедливо при любых t, и мы 76
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
приходим к нелинейному уравнению Шрёдингера (1.6.28) lq, + qxx^\q I2 <7 = 0.
Иначе говоря (1.6.28) является гамильтоновой системой с координатами [q(x, /)], импульсами [q*(x, 0] и гамильтонианом
і ^ {± I qx I2 -f I q I4} dxj. Это справедливо, если определить
независимые вариации переменных q и р. В этом разделе мы будем рассматривать (1.6.28) как частный случай (1.6.27), в котором на начальные данные наложено дополнительное ограничение (г = ±q*).
Многие уравнения, интегрируемые МОЗР, имеют первый порядок по времени. В этом случае удобно пользоваться другой формой гамильтоновых уравнений.
Лемма. Пусть Н(р, q, /) —гамильтониан динамической системы. Предположим, что он не содержит координаты q явно, хотя может содержать производные от q по х. Тогда соотношение
P = Qx
совместно с (1.6.26), и оба уравнения сводятся к.
ОАЭД
Доказательство. Выражение (1.6.29) является производной по х от (1.6.26а). Сведение (1.6.26Ь) к этому виду следует из (1.6.25) и того факта, что dh/dq обращается в нуль. .? Пример.
H = -\{pql + P*qx-px<lxx}dx. Динамические уравнения имеют вид
(1.6.30) <t = -ql-2pqx-qgl№.
Pt = — і^рфх - (P2)x — Pxxx-
Если при t = 0 р(х, 0) = qx(x, 0), то это справедливо при всех t, так как эволюционные уравнения для р и qx совпадают. Кроме того, оба уравнения превращаются в уравнение КдФ (1.2.2) для р(х, І).
Таким образом, динамическая система является гамильтоновой либо когда ее можно представить в виде (1.6.26) для гамильтониана Н(р, q, t), либо если она представима в виде 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 77
для гамильтониана H (р, /)'). Читатель должен помнить, что H (р, t) ф H (р, q)\q хотя между ними имеется очевидная связь.
Пример. Уравнение КдФ имеет вид (1.6.31) с гамильтонианом
(1.6.32) H = -\ (p*-±pl)dx.
Здесь H отличается от HI из предыдущего примера на
Qxt=P
множитель 2.
Далее для того, чтобы определить замены переменных от (р, q) к другому набору сопряженных величин (Р, Q), мы определим скобки Пуассона-.
«1.6.33,
-OO
Если гамильтониан H содержит только производные от q по х и не содержит q, то возможно отождествление qx = р. В этом случае (1.6.33) следует заменить на
(,.6.34)
— OO
Преобразование от (р, q) к (Р, Q) по определению является каноническим, если
(Q (х), Q (у)) = о, (Р (х), P (у)) = О, (1' 5) (Q(X), P (у)) = 6 (х-у).
Из (1.6.35) следует, что объем фазового пространства при этих преобразованиях не изменяется. Вопрос о том, является ли преобразование к новым переменным каноническим, аналогичен вопросу о полноте нового базиса в линейном векторном пространстве.
Пример. Тождественное преобразование
P (х, O = р (х, i), Q(x, () = q(x, і)
является каноническим.
Имея теперь необходимый набор сведений, мы перейдем к главному: покажем, что МОЗР представляет собой каноническое преобразование к переменным типа действие — угол. Для того
') На самом деле существует гораздо более общее определение гамиль-тоновой системы, так что (1.6.24) и (1.6.31) являются весьма частными примерами (см., например, [44]). — Прим. ред. 78
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
чтобы изложение было по возможности простым, мы здесь обсудим только уравнения вида (1.5.16) и лишь сформулируем результаты для (1.5.21). Перечислим наиболее важные моменты при этом исследовании:
1. Эволюционные уравнения вида (1.5.16) представляют собой (бесконечномерные) гамильтоновы динамические системы, в которых (q, г) играют роль сопряженных переменных.
2. Имеется подмножество S данных рассеяния, по которому все остальные данные рассеяния могут быть восстановлены.
3. Отображение (q, г) -у S является каноническим.
4. Сопряженные переменные в S(= P, Q) являются переменными типа действие — угол, т. е. Я = H(P), так что из (1.6.26) получим
(1.6.36) IF= 0' ^7- = -5F = const-
Существование бесконечного набора законов сохранения непосредственно следует из выражения (1.6.36а) и эквивалентно ему, если на начальные данные (q, г) наложено достаточное количество ограничений.
В разд. 1.5 для любого дисперсионного соотношения, вещественного при вещественных k и являющегося целой функцией, было построено нелинейное эволюционное уравнение вида
(1.5.16) (^), + ^-(^)(^)==0,
к которому применим МОЗР. Оператор Sa был определен в (1.5.15), А— связано с дисперсионным соотношением посредством (1.5.18), и задача рассеяния рассматривается для оператора (1.2.7а).
Теорема. Пусть Л_ является целой функцией от ? и имеет вид
OO
(1.6.37) Й) = "5Г Z (-2Ona*'
п=* о
где все ап вещественны. Тогда система уравнений (1.5.16) является гамильтоновой, q(x, t) и r(x, t) служат сопряженными переменными, и гамильтониан имеет вид
