Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 24

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 164 >> Следующая


координаты (q) с q(x, t), импульсы (р) с г (х, /),

OO

гамильтониан (H) с — / ^ {qxrx + (qr)2} dx.

— 00

Если при t = О г(х, 0) = ±q*(x, 0), то из уравнений (1.6.27) следует, что это соотношение справедливо при любых t, и мы 76

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

приходим к нелинейному уравнению Шрёдингера (1.6.28) lq, + qxx^\q I2 <7 = 0.

Иначе говоря (1.6.28) является гамильтоновой системой с координатами [q(x, /)], импульсами [q*(x, 0] и гамильтонианом

і ^ {± I qx I2 -f I q I4} dxj. Это справедливо, если определить

независимые вариации переменных q и р. В этом разделе мы будем рассматривать (1.6.28) как частный случай (1.6.27), в котором на начальные данные наложено дополнительное ограничение (г = ±q*).

Многие уравнения, интегрируемые МОЗР, имеют первый порядок по времени. В этом случае удобно пользоваться другой формой гамильтоновых уравнений.

Лемма. Пусть Н(р, q, /) —гамильтониан динамической системы. Предположим, что он не содержит координаты q явно, хотя может содержать производные от q по х. Тогда соотношение

P = Qx

совместно с (1.6.26), и оба уравнения сводятся к.

ОАЭД

Доказательство. Выражение (1.6.29) является производной по х от (1.6.26а). Сведение (1.6.26Ь) к этому виду следует из (1.6.25) и того факта, что dh/dq обращается в нуль. .? Пример.

H = -\{pql + P*qx-px<lxx}dx. Динамические уравнения имеют вид

(1.6.30) <t = -ql-2pqx-qgl№.

Pt = — і^рфх - (P2)x — Pxxx-

Если при t = 0 р(х, 0) = qx(x, 0), то это справедливо при всех t, так как эволюционные уравнения для р и qx совпадают. Кроме того, оба уравнения превращаются в уравнение КдФ (1.2.2) для р(х, І).

Таким образом, динамическая система является гамильтоновой либо когда ее можно представить в виде (1.6.26) для гамильтониана Н(р, q, t), либо если она представима в виде 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 77

для гамильтониана H (р, /)'). Читатель должен помнить, что H (р, t) ф H (р, q)\q хотя между ними имеется очевидная связь.

Пример. Уравнение КдФ имеет вид (1.6.31) с гамильтонианом

(1.6.32) H = -\ (p*-±pl)dx.

Здесь H отличается от HI из предыдущего примера на

Qxt=P

множитель 2.

Далее для того, чтобы определить замены переменных от (р, q) к другому набору сопряженных величин (Р, Q), мы определим скобки Пуассона-.

«1.6.33,

-OO

Если гамильтониан H содержит только производные от q по х и не содержит q, то возможно отождествление qx = р. В этом случае (1.6.33) следует заменить на

(,.6.34)

— OO

Преобразование от (р, q) к (Р, Q) по определению является каноническим, если

(Q (х), Q (у)) = о, (Р (х), P (у)) = О, (1' 5) (Q(X), P (у)) = 6 (х-у).

Из (1.6.35) следует, что объем фазового пространства при этих преобразованиях не изменяется. Вопрос о том, является ли преобразование к новым переменным каноническим, аналогичен вопросу о полноте нового базиса в линейном векторном пространстве.

Пример. Тождественное преобразование

P (х, O = р (х, i), Q(x, () = q(x, і)

является каноническим.

Имея теперь необходимый набор сведений, мы перейдем к главному: покажем, что МОЗР представляет собой каноническое преобразование к переменным типа действие — угол. Для того

') На самом деле существует гораздо более общее определение гамиль-тоновой системы, так что (1.6.24) и (1.6.31) являются весьма частными примерами (см., например, [44]). — Прим. ред. 78

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

чтобы изложение было по возможности простым, мы здесь обсудим только уравнения вида (1.5.16) и лишь сформулируем результаты для (1.5.21). Перечислим наиболее важные моменты при этом исследовании:

1. Эволюционные уравнения вида (1.5.16) представляют собой (бесконечномерные) гамильтоновы динамические системы, в которых (q, г) играют роль сопряженных переменных.

2. Имеется подмножество S данных рассеяния, по которому все остальные данные рассеяния могут быть восстановлены.

3. Отображение (q, г) -у S является каноническим.

4. Сопряженные переменные в S(= P, Q) являются переменными типа действие — угол, т. е. Я = H(P), так что из (1.6.26) получим

(1.6.36) IF= 0' ^7- = -5F = const-

Существование бесконечного набора законов сохранения непосредственно следует из выражения (1.6.36а) и эквивалентно ему, если на начальные данные (q, г) наложено достаточное количество ограничений.

В разд. 1.5 для любого дисперсионного соотношения, вещественного при вещественных k и являющегося целой функцией, было построено нелинейное эволюционное уравнение вида

(1.5.16) (^), + ^-(^)(^)==0,

к которому применим МОЗР. Оператор Sa был определен в (1.5.15), А— связано с дисперсионным соотношением посредством (1.5.18), и задача рассеяния рассматривается для оператора (1.2.7а).

Теорема. Пусть Л_ является целой функцией от ? и имеет вид

OO

(1.6.37) Й) = "5Г Z (-2Ona*'

п=* о

где все ап вещественны. Тогда система уравнений (1.5.16) является гамильтоновой, q(x, t) и r(x, t) служат сопряженными переменными, и гамильтониан имеет вид
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed