Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.6.43с) Pi=h, Qi = -Zilncl.
Через S обозначим величины, определенные в (1.6.36).
Легко видеть, что остальные данные рассеяния легко восстанавливаются по 5. При Im g > 0 функция lna(g) может быть восстановлена по S при помощи (1.6.20). Совершенно аналогично находятся Ina при Img = O и lna(g) при Img^O. Функцию fr(|) можно найти по Q(I), а для_нахождения o(|) можно воспользоваться соотношением ай + bb = 1. Если г = ±q*, то при вещественных I a(|) = а*(|), поэтому функция Р(|) принимает вещественные значения, |6(|)| определяется по Р(|), Q(I) можно заменить на ее мнимую часть, а (1.6.43с) является излишним.
Итак, все данные рассеяния определяются по S. Согласно результатам разд. 1.3, потенциалы {q, г) также восстанавливаются по S. В этом смысле набор 5 является «полным». Для того чтобы показать, что отображение {q, г) -*¦ S является каноническим, нужно проверить условие (1.6.35). Это весьма утоми- 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость
83
тельное вычисление, схематически описанное в упр. 1 к этому разделу. Его результаты, однако, принципиально важны.
Отображение (q,r)-*S является каноническим преобразованием. Поэтому динамику любой системы вида (1.5.19) можно описать как через (q, г), так и через 5.
Остается записать гамильтониан в терминах S. Это легко сделать, подставляя (1.6.21а) в (1.6.38) и группируя подходящим образом члены. В результате (для заданного дисперсионного соотношения (1.6.27) линеаризованной задачи) получим
OO N
(1
і-Ел
.6.44а) H = -? J Л_ (S) Г Inaa(S)+ ? In
— оо L т=1
W г» і N Zm
I = 1 1 J т=1 г* Если г = ± q", то
оо N ^m
(1.6.44b) Я = I J Л_ © In I a (I) I2 dl + 4/ J] S А. (?)
-оо т» 1
tn
Теперь очевидно, что H зависит только от обобщенных импульсов (JP(l), Pm, Pi в (1.6.43)) и не зависит от координат (Q(?), Qm, Qi)- Это является определяющим свойством переменных типа действие — угол. Также совершенно очевидно, что гамильто-новы уравнения теперь принимают вид
л к лк\ дР n dQ OH
(1.6.45) ~дГ= ' Ж = ~0Р-
Таким образом, переменные P не зависят от времени, a Q изменяются во времени линейно, т. е. движение в этих переменных равномерно.
Запишем (1.6.45) в явной форме, воспользовавшись (1.6.43). Для вещественных S
{Inaa (І)} = 0, {In b (і)} = - 2Л_ ?); для m=l, ..., N
(1.6.46) -Jj- ?т = 0, 4 {In ст} = - 2Л_ (U); для I = 1, .... N
= jI{\ncl} = 2A_(ll). 84
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
(Вычисление ЬН/Ь^т и ЬН/Ь\і по (1.6.44а) не столь очевидно, его набросок содержится в упр. 2 к этому разделу.) Это в точности совпадает с результатами разд. 1.4.
Теперь сформулируем соответствующие результаты для эволюционных уравнений вида (1.5.21), и в частности для уравнения КдФ [532, 162]. При вещественных k определим
(1.6.47а)
Q (?) = arg р (k) и для дискретных собственных значений (1.6.47b) Pn = ~Ч> Qn = Incll
(см. обозначения в разд. 1.3). Тогда можно показать, что отображение
q-*{P(k), Q (k), Pn, Qn}
является каноническим, т. е. скобки Пуассона (1.6.24) для новых переменных удовлетворяют условиям (1.6.35). Кроме того, легко понять (см. (1.6.22), (1.6.41)), что переменные (1.6.47) являются переменными типа действие — угол. Гамильтоновы уравнения для КдФ в этих переменных эквивалентны (1.4.10).
Итак, мы можем рассматривать МОЗР как вполне конкретный метод построения канонического преобразования к переменным типа действие — угол. Динамика системы в этих переменных очень проста. Сравнительно простая картина поведения решений, возникающая в физических переменных (солитоны, их парное взаимодействие и т. д.), является прямым следствием существования переменных типа действие — угол. В частности, в задачах, интегрируемых МОЗР, невозможно стохастическое поведение.
Но это отнюдь не означает, что вся проблема стала тривиальной. Обратная задача рассеяния нетривиальна, и для нее нет уверенности даже в том, что решения обладают хорошими свойствами. Например, при г Ф q* точное 1-солитонное решение уравнений (1.6.27) может взорваться за конечное время (см. с (1.4.24)). Таким образом, сингулярности могут возникать даже в полностью интегрируемых системах, если при этом, конечно, не нарушаются законы сохранения. С этой точки зрения причина нашего интереса к случаю г = ±q* состоит в том, что становится возможным определить интеграл C0 = ^ rq dx, который теперь служит в качестве нормы (не зависящей от времени).
1.7. Поведение решений на больших временах. Этот раздел посвящен описанию метода нахождения основного вклада в асимптотику решений вполне интегрируемых задач (при 1.7. Поведение решений на больших временах
85
-»-оо). Помимо всего прочего, полученная информация может оказаться полезной, если соответствующие уравнения используются в качестве модели физического явления.
Нетрудно показать, что если решение задачи с начальными условиями, заданными на —оо -< х < оо, содержит солитоны, то при t-*¦ оо солитоны вносят вклад порядка 0(1), тогда как не-солитонная часть (т. е. «излучение», соответствующее непрерывному спектру) медленно расплывается и исчезает. В этом смысле основной вклад в асимптотику вносят солитоны (см., например, [477]). Однако это описание справедливо не везде, т.е. существуют большие области пространства, в которых солитон-ный вклад пренебрежимо мал и доминирует излучение. Кроме того, может случиться, что солитонный вклад пренебрежимо мал для таких физически важных сохраняющихся величин, как импульс и энергия волнового пакета.
