Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
F (г, 0 = — ice^z, F(z, t) = ice
причем зависимость с от времени дается формулой (1.4.21),
а с = с0е2 -l^t. Мы еще раз решим интегральное уравнение с вырожденным ядром и получим
2A_(?)t-2i(x
q(x, t)= 2lc°e
D (X, t)
/1 ,. пл\ о- -2A_(t)t + 2itx
-4'24) r(x, t)= ~2lCoe
D (х, t)
?)!Х А _ 1 _ CqCq 2(A_(l)-A_(l))t+2i (E-E)X
Можно легко проверить, что функция D(x, t), не имевшая нулей при t = 0, может обратиться в нуль в некоторый конечный момент времени t — T <. оо. Мы будем называть такие решения взрывающимися солитонами. Теперь понятно, почему столько внимания мы уделили случаю г = +q*.
Приведенная здесь схема применима и в более общем случае, когда имеется N различных собственных значений (двукратные собственные значения можно получить как предел слияния двух простых). Интегральное уравнение в этом случае также имеет вырожденное ядро и может быть решено в замкнутой форме (т. е. решение можно выразить через определители некоторых матриц, см., например, Захаров, Шабат [544] или Вадати [495]). Следует также отметить, что Хирота предложил другой метод, позволяющий строить iV-солитонные решения. Метод Хи-роты применяется непосредственно к нелинейному уравнению и не использует обозначений обратной задачи рассеяния. Этот метод мы обсудим в разд. 3.3, там же будут получены N-соли-тонные решения для уравнения КдФ.
Бывает так, что для двух или более различных собственных значений величины Re/l_(?)/r| совпадают (иначе говоря, со-литоны (1.4.22) имеют одинаковые скорости). В этом случае многосолитонное решение будет представлять собой связанное состояние с периодической зависимостью от времени. Для нелинейного уравнения Шрёдингера Re A^(Zs)/ц ~ поэтому дискретные собственные значения, имеющие одинаковые веществен- 1.4. Зависимость от времени и частные решения
49
ные части, отвечают связанным многосолитонным решениям ') (обсуждение этого вопроса имеется в работе Захарова и Ша-бата [544]). Другой пример периодических во времени связанных состояний дает уравнение sin-Гордон. Для этого уравнения в разд. 1.2 было получено, что Л_(?) = І/4?. Поэтому ИеЛ_(?) = = г\/(A (?2 + г]2)), и собственные значения, отвечающие связанным солитонным решениям, должны лежать на окружности I2 Г|2 = const. Когда имеется лишь одно собственное значение, то оно должно лежать на мнимой оси 1 = 0 (из вещественности q и условия q = —г следует, что собственные решения лежат либо на мнимой оси, либо образуют пары, симметричные относительно мнимой оси: —см. разд. 1.3). Следовательно,
Re (O = -^i-, Im А_ (S) = 0 (ф„ = -г). Из (1.4.22) следует, что
-7г = — <7 (*> 0 = 2Vch (2цх + J-/ + х0) ,
и решение уравнения sin-Гордон, отвечающее простому кинку, имеет вид
и = A arctg exp (2х\х + t + х0).
В лабораторной системе координат х = (Х-\-Т)/2, t = (X^ — Т)/2 уравнение sin-Гордон переписывается в виде
(1.4.25) ихх — итт = sin«
и однокинковое решение представляется формулой
(1.4.26) и (X, T) = 4 arctg exp ( (г, + Jp) (X - X0) +
Аналогичным образом можно вычислить решение, отвечающее двум собственным значениям. Не вдаваясь в детали вычисления, мы приведем результаты, относящиеся к этому случаю. Пусть заданы два собственных значения ? — E + пі и —?*, тогда реше-
') Отметим, что энергия связи этих состояний равна нулю. Нетрудно проверить, что почти любое малое возмущение нарушает равенство скоростей солитонов и, следовательно, связанность состояний. Поэтому нет серьезных оснований называть такие состояния связанными. Пример настоящего связанного состояния солитонов дает бризерное решение уравнения sin-Гордон (см. ниже). Здесь уже имеется дефект массы из-за наличия взаимодействия, и малые возмущения не разрушают связи,— Прим. перев, 50
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
ние имеет ВИД
(1.4.27) и (Xt Т) = 4arctg [у- cos (v (Т — T0) — (4 ¦ - V)X))/ch (V (X-X0)-(A-V)T)],
где V = 2 + 1/(2|?|2). Если + = ICl2 = 1/4, то v = 4, и мы получим решение, которое обычно называют «бризером»,
(1.4.28) и (X, Т) = 4 arctg
sin (ш (Т —
f0)))/ch(Vl- O2(X-X0)),
где со = 2?, I2+ л2 =1/4 (рис. 1.3). Типичное кинк-антикинковое
Рис. 1.2. (а) Кинк (T) = +1/2); (б) антикинк (ті = 1/2).
Ztt /тг ' -I^r ' I 1 Zn - \ jt 27Г 7г
-5 -тт -Ztt а 5 а: _5 -JT 5 а -Vrr -Чтг 6
Рис. 1.3. Характерный вид бризера (1.4.28): (а) ь>(Т — T0) = я/2; (б) to (Г — Го) = я; (в) W(T-T0) = Зя/2
решение при іц-т«1 -«)/(l + f))1/2. 112 = 4-(0 + ^)/(1 -Vhif2 (?/ = «]/> /=1. 2) имеет вид
sh ( VT^5)
(1.4.29)
и(Х, Г) = 4 arctg
"4? 1.4. Зависимость от времени и частные решения
52
((1.4.29) можно получить из (1.4.28), положив о = і У®2/( 1 —• ю2) и T0 = я). Решение, отвечающее двойному собственному значению, можно получить, переходя к пределу о-»-0:
(1.4.30) и (X, T) = 4 arctg (- Т/сh (X - X0))
(рис. 1.4). На спектральном языке (1.4.29) представляет собой решение, отвечающее двум собственным значениям т^, т|г, расположенным по разные стороны от точки т] = 1/2. Они сливаются в двойной нуль rii = 1-)2 = 1/2 (этому соответствует решение
