Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
OO
(1.6.38) Я (q, г) = і E ап (I)nCniq, г),
и-О
где Cn определены в (1.6.6).
Отметим, что утверждение теоремы легко проверяется в случае любой конкретной системы (например, такой, как (1.6.28)); для этого достаточно выписать гамильтониан и обобщенные пере- 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 79
манные. Доказательство того факта, что любое уравнение вида (1.5.16) является гамильтоновым, требует более длинных рассу-ждений.
Доказательство.
(І) Из (1.2.7а) при вещественных ? имеем
x
ф1 (х, QeKx=I + J <7(0)Фг(0. Oeit"^!
— оо
таким образом,
^dL = QiX-y)cf2(y, Ое'С <'-*>,
где 0(а;) — функция Хевисайда.
(И) Для любой функции А(х), дифференцируемой всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек, можно определить
mW ^lim mW
так что
Аналогично
Поэтому (1.6.39)
6Ч(Х) у ^x oq(y) '
Дфі (*¦ Є) _ m (x f)
n_ бфі___0ф2 6^ll 2 . _ 6^I, 2
' б г б q 6 q б г
6a = XT {Фі^а - Ф2Ф1} = Ф2 (x, ?) ^2 (*. О,
бq (х) бq
б а (?)
бr (x)
Фі (*. O (*> O-
Все эти величины определены в верхней полуплоскости S (см, разд. 1.3), и полученные соотношения могут быть туда продолжены.
(Hi) При вещественных ? из (1.2.7а) имеем
(фі^і)* H- 2^Piti = q (Фі^г + Ф2Ф1).
(фг'Ф*)* — 2'??1!? = г (ф^г H- ф2і|>,), (фі^г + Ф2Ф1)* = 2W2i|)3 + 2гф,Ц>і. 80 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Используя граничное условие при получим
OO
фЛ + ФаФі = а — 2 ^ {<7Ф2% + '?,?,} dx;
x
таким образом,
( (
Ч-ф,Ф,У V-Ф,^,; 2і \ д J-
Это соотношение также можно продолжить в верхнюю полуплоскость.
(iv) Устремим I?I —V оо, Im ? > 0; в результате получим
U;I;bM'-I-TCb
Щ Z ( ? ) ( Q )"
я = 0 4 Ч У
(v) Вариационные производные от Ina вычисляются при помощи (1.6.39), (1.6.40):
-(2,0-1: (^)%,
б Ini
I In
І- - (2,0- E (4)",
б Г
(vi) Теперь из (1.6.6) следует, что (1.5.19) можно переписать в виде
_ бн _ ьн Ч*—Ъ7' —
где
H(q, г) = і Y1VnCniq, r)(i)n.
к=0
Это и есть желаемый результат. ?
Таким образом, мы можем рассматривать эволюционные уравнения вида (1.5.19) как гамильтоновы системы; при этом дисперсионное соотношение линеаризованной системы имеет вид (1.6.37). (Отметим, что (1.6.27) служит примером для этой теоремы при со = k2.) Естественно ожидать, что аналогичные результаты получатся и для эволюционных уравнений вида (1.5.21), связанных с (1.2.20) (подробности приведены, напри- 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость
81
мер, в работе [162]). Их можно сформулировать следующим образом. Пусть
Y(^2)=Z
п=0
будет целой функцией. Нелинейное эволюционное уравнение (1.5.21) является гамильтоновым вида (1.6.31); при этом гамильтониан задается формулой
оо
(1.6.41) Я--а»С2п+3 (—4)",
п =О
где Cn определены как в (1.6.22). Примером является гамильтониан уравнения КдФ.
Далее мы ограничимся гамильтоновыми системами вида (1.5.19) и определим для них скобки Пуассона
/1 С лг>\ /Л D\ ff м 6В M ЬВ ї ,
(1.6.42) (А, В)= \
-OO
Определение. Для заданной гамильтоновой системы говорят, что два функционала А, В, зависящие от сопряженных переменных, находятся в инволюции, если
(А, В) = 0.
Для конечномерных гамильтоновых систем (с N координатами и N импульсами) теорема Лиувилля утверждает, что если существует N функционалов с линейно независимыми градиентами, находящимися в инволюции, то уравнения движения интегрируемы в квадратурах (см. [45]).
Лемма. Интегралы движения Cn, бесконечная последовательность которых была определена соотношениями (1.6.6), находятся в инволюции для любой системы уравнений (1.5.19), соответствующей некоторой ю(?).
Доказательство. Прямым вычислением получим
О
iCn Г f ЬСп dg . 6Cn dr \ _ dt ~ ) \ oq dt or dt і
— OO
OO
- S
— 00
В частности, это справедливо для H = Cn. ?
Таким образом, существование бесконечного набора интегралов движения, находящихся в инволюции, для любой бесконечно- 82
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
мерной системы вида (1.5.19) наводит на мысль, что эти системы могут также оказаться вполне интегрируемыми. Эта догадка является верной, но для ее обоснования недостаточно наличия бесконечного набора инволютивных интегралов движения. Для бесконечномерных гамильтоновых систем совсем не очевидно, «сколько же» функционалов, находящихся в инволюции, требуется для того, чтобы гарантировать полную интегрируемость.
Определим теперь подмножество S данных рассеяния, по которому остальные данные рассеяния могут быть восстановлены. Здесь мы будем предполагать, что функции а(?), a(?) имеют только простые нули в соответствующих полуплоскостях, причем они не лежат на вещественной оси. Тогда для вещественных | определим
(1.6.43а) P (I) = In {a (l)fl (6)}, Q(I) = In b(l).
Может случиться, что имеются дискретные собственные значения при Im ? > О,
а (gm) = 0, cm = ^r
и при Img < 0
a (?,) = 0, Ci = -Jr
т= 1, ..., N,
_ , /= 1, ..., N. С—С/
Положим
(1.6.43b) Pm = U, Qm = " 2t In ст,
