Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(П. 1.50) со = — k3.
Формальное решение в виде преобразования Фурье имеет вид (П. 1.51) и(х, {k)eikx+ikH dk,
где 0(—k) = 0*(k), так как U(x) вещественна. Из работы Коэ-на [112], который не делал никаких предположений относитедь- П. 1. Преобразование Фурье
39?
но поведения U (k) где-либо, кроме как на вещественной оси k, следует, в каком смысле формула (П.1.51) является решением задачи (П.1.49).
При вычислении (П.1.51) при tоо мы ограничимся функциями О (к), которые могут быть продолжены с вещественной оси k. Кроме того, будем предполагать, что при деформациях ?-контуры не пересекают сингулярностей функции U(k). Из-за этих ограничений вычисление асимптотики (П. 1.51) тесно связано с вычислением функции Эйри
OO
(П.1.52) Ai (г,) = -L J exp (ikr\ + ^L) dk,
что подробно обсуждается в работе [116]. Функция Эйри изображена на рис. П. 2.
Ai (Ij) 0.6
Рис. П.2. Функция Эйри Ai(г)).
к-птскость
Рис. П.З. Кривая наискорейшего спуска для x/t > О в (П.1.51).
Точки стационарной фазы в интеграле (П.1.51) определяются из уравнения
I + 3k2 = 0. Результаты вычислений будут отличаться, если
f < О,
>0, \x\ = o{t) при /->00.
Для x/t<. О существуют стационарные точки ft = ± \х/{Ы) |1/2, как показано на рис. П.З. Кривая наискорейшего спуска должна пройти через обе эти точки.
В окрестности этих точек локальное уравнение контура имеет
вид
(П. 1.53)
k = ±
Zt
1/2
_(_ ге±Ш!4 _(_ .
Отсюда можно найти главный член в разложении О при больших/для (П.1.51).-Если /->- оо и x/t < 0, асимптотика (П.1.51) имеет вид
(П. 1.54) и(х, t)
P (x/t)
(л01/21з*/М,/4
cos ¦
з/
3/2/
+ 7+<f)}; 414 Приложение. Линейные задачи
где
р m=Hmi-
Чт) = агг{б(|-згГ)}-
Заметим, что функция U в точке х при x/t ->—оо стремится к нулю быстрее, чем (x/t)~V4, поэтому О тоже стремится к нулю.
Для x/t > 0 вещественных стационарных точек нет. Основной вклад при / -V оо определяется смещением контура вверх так, чтобы он пересекал стационарную точку, лежащую в верхней полуплоскости k,
и разложением О в ее окрестности. Таким образом, при t-*- оо, x/t > О
<п-'-55> •<"¦ w-'wo""('(іЛ^-ЧіГ')-
Обе формулы, (П.1.54) и (П.1.55), неприменимы, когда x/t -V 0. Для того чтобы исследовать поведение решений в этой области, удобно сделать замену переменных в (П.1.51):
(П. 1.56) з = к{Ы)и\ Ч =
В новых переменных (П. 1.51) принимает вид (П. 1.57) и(х, 0 =
Разложение в ряд Тейлора функции О в окрестности S = O позволяет выразить асимптотику для и при / оо через функцию Эйри и ее производную:
(П. 1.58) и(х, t) 1/3 ?/(0)Аі(ті) -
- (3trmiU' (O)Ai' (T1) + 0((3/)"1)-
Используя асимптотические свойства Ai (ті), можно показать, что (П.1.58) гладко переходит в (П.1.55) при r]-v+oo и в (П. 1,54) при ті -»—ОО.
Таким образом, решение (П. 1.49) убывает как /_1/2 при x/t < 0, как Н/3 в окрестности x/t = 0 и экспоненциально при x/t > 0. Честер, Фридман и Урселл [108] показали, каким образом можно получить асимптотическое решение, равномерно^ П. 1. Преобразование Фурье
39?
где
по {x/t). Они получили формулу
(П. 1.59) и(х, 0^(3/)-'/3Ai(ri)[gW+/(~fe)l +
+ (3 o-^Ai'dOpw—^b*)].
которая заменяет (П.1.54, 55, 58). Важно, что в обоих случаях « ==(30"1/3 Ai(T)) и и = (30~2/3Аі'(їі)
являются автомодельными решениями (П. 1.49) и (П. 1.59) имеет вид «квазиавтомодельного решения», в котором модуляция зависит от начальных условий О.
Пример 4: Уравнение Клейна — Гордона
/тт . йт итт ихх + м = 0, -оо<Х<оо, Г>о, (П. 1.60) .
v ' и->0 при |Х|->оо.
Кроме того, заданы две вещественные функции и(Х, T = 0) и йт (X, T = O). Уравнение Клейна — Гордона возникает в различных разделах релятивистской квантовой механики (см., например, Морс и Фешбах [385]). Нас оно интересует главным образом потому, что является линеаризацией уравнения sin-Гордон, хотя исторически эти уравнения были получены в обратном порядке.
Рассматриваемая задача относится к гиперболическому типу, поэтому для ее исследования удобнее использовать метод характеристик. Определим характеристические координаты (через «лабораторные координаты») формулами
(П.1.61) х=ЦЇ~, t =
Уравнение (П. 1.60) принимает вид
(П.1.62) uxt = u, />0.
Теория гиперболических уравнений слишком обширна, чтобы ее можно было развивать здесь, претендуя на строгость. Классический труд Куранта и Фридрихса [124] для наших целей является одним из лучших, которые мы могли бы рекомендовать читателю. Существуют два важных следствия гиперболичности (П.1.60).
(і) Любое возмущение распространяется вдоль выходящей из него характеристики. Из этого следует, что если начальные ус- 416
Приложение. Линейные задачи
ловия (П. 1.60) имеют компактный носитель, то (в лабораторных координатах) решение (П. 1.60) будет иметь компактный носитель во все моменты времени. Далее мы ограничимся рассмотрением этого случая.
(ii) Разрывы и или ее производных распространяются вдоль характеристик. Преобразование (П.1.60) в (П.1.62) используется только тогда, когда определены вторые производные и.
