Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 138

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 164 >> Следующая


В свете качественного характера различия между асимптотическими решениями (П. 1.23) и (П. 1.72) интересно было бы понять, в каком смысле они аппроксимируют друг друга. Начнем с рассмотрения (П. 1.23) при —оо < х < оо. Равноудаленные точки на оси х представим в виде

хп = nh,

где h — некоторая постоянная h -C 1. Тогда (П. 1.82) -SH=wIГ'-^+ООТ, и (П.1.23) принимает вид (п. 1.83)

Это уравнение аппроксимируется уравнением (П. 1.72) до тех пор, пока не станет заметным совокупный эффект от слагаемых, которыми мы пренебрегли для того, чтобы получить (П. 1.83). Основываясь на (П. 1.83), можно оценить время, за которое нарушается аппроксимация (П. 1.23) моделью (П. 1.72), формулой

/ = O (/Г2).

Таким образом, (П. 1.72) аппроксимирует (П. 1.23) только в течение ограниченного времени. Поэтому разница в асимптотическом поведении при (f-> оо) не является столь неожиданной. Существует два предельных перехода, t-*- оо и h-> 0, которые не коммутируют во всем пространстве п.

И все-таки стоит задать вопрос, в каких случаях в решении (П. 1.72) появляется волновой фронт. Для того чтобы (П. 1.83) привести в соответствие с (П. 1.72), положим

x = t/h2

и пренебрежем членами более высокого порядка. Волновой фронт возникает при

п = ± 2т,

т. е. при

xjh = ± 2Hh2, или Xn= ± ЧЦЬ. П. 2. Неадекватность метода Фурье

.423

Сравнивая полученный результат с (П. 1.36), находим, что эта траектория соответствует волновому числу

(П. 1.84) k=l/h.

Существуют две возможности.

(і) Начальные данные для (П. 1.23) не содержат никакой информации о таких больших волновых числах. В этом случае между решениями (П. 1.23) и (П. 1.72) нет существенных различий, потому что там, где амплитуда обращается в нуль, имеет место медленно затухающий волновой фронт.

(И) Начальные условия для (П. 1.23) содержат существенную информацию об этих (и последующих) волновых числах. В этом случае (П.1.82) является плохой аппроксимацией, отброшенные члены относительно быстро становятся важными, и асимптотическая формула становится справедливой после того, как (П.1.72) перестает аппроксимировать (П.1.23).

В этой задаче мы непосредственно столкнулись с аппроксимацией, которая имеет силу в течение ограниченного времени. Трудности такого сорта возникали также в гл. 4, где обсуждались физические приложения эволюционных уравнений.

На этом завершается описание «метода преобразования» Фурье применительно к линейным эволюционным уравнениям с постоянными коэффициентами. Преимущества метода заключаются в его простоте и в том, что качественное поведение решения на достаточно больших временах определяется непосредственно из дисперсионного соотношения. Недостаток СОСТОИТ в том, что он не является в такой же степени общим, как некоторые другие методы, скажем преобразование Фурье — Лапласа. Однако в задачах, где этот метод не приводит к успеху, неудача возникает как следствие двух следующих причин (или их комбинации) :

(і) дисперсионное соотношение отсутствует;

(H) набор фурье-мод не является полным.

В следующем разделе мы рассмотрим некоторые задачи, в которых метод Фурье не применим. Смешение фаз, алгебраически растущие моды и затухание Ландау являются общими особенностями этих задач, а линейный предел задачи о самоиндуцированной прозрачности (СИП)—один из таких примеров. Однако, за исключением этой задачи, материал разд. П.2 не имеет прямого отношения к СИП или к задачам, решаемым таким образом.

П.2. Неадекватность метода преобразования Фурье. Рассмотрим некоторые задачи, в которых метод Фурье не приводит к успеху. Часто бросается в глаза, что при этом нет дисперсионного соотношения, и для каждого фиксированного со допустим 424

Приложение. Линейные задачи

непрерывный ряд значений k. В противоположность задачам, для которых дисперсионное соотношение существует, в этих задачах возможно экспоненциальное затухание решения (во времени), даже если а вещественно для вещественного k. Примером такого затухания в физике плазмы является эффект «затухания Ландау».

Пример 1: Модель одномерной кинетической теории

OO

Xf(Z) = -O ^U (x)g(x, t)dx, t> О,

— to

(П.2.1) -|-+t,-|L = ?/(*)/(0, — оо < х< оо, і > О,

g(x, t) —> О при х-> — оо

U (х), /(0), g(x, О) = G(x) заданы и вещественны,

U(x), G (х) E=L2.

Эта задача была предложена Раманатаном и Сандри (1969) [426] как простая модель для проверки обоснованности гипотез, на которых основана кинетическая теория газов. В этой ситуации f соответствует отклонению от равновесия одночастич-ной функции распределения, a g — отклонению от равновесия двухчастичной корреляционной функции, V и а — положительные постоянные, причем а "С 1. Интегральные модели записаны для случая взаимодействия двух тел; взаимодействием трех и более тел пренебрегается. Модель (П.2.1) будет детально проанализирована, потому что она служит прототипом множества линейных задач, которые не имеют дисперсионных соотношений.

Для (П.2.1) легко находится не зависящий от времени интеграл энергии

(П.2.2) ± ГP + а ] g2 dxI = - а Vg2 Cl00 ,
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed