Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, нам нужно установить связь (П.1.39) с «медленно меняющимися автомодельными решениями» уравнения (П. 1.23). С этой целью будем искать частное решение I. 1.23) в форме
0»rpf(Ti), Tl = TT
и найдем, что q = \ и /(rj; р) удовлетворяет уравнению
(П. 1.40) f" — ~r\f'~ ipf = 0.
С помощью преобразования г — t'ri/4 f можно отождествить с вырожденной гипергеометрической функцией. Однако для на- 410
Приложение. Линейные задачи
ших целей достаточно увидеть, что одно из решений (П. 1.40) при р = 1/2 имеет вид
(П.1.41) /(ті; =
где А — постоянная. Таким образом, при t -> оо решение (П. 1.23—25) стремится к решению, которое локально автомодельно, но модулировано медленно меняющейся функцией (т. е. А теперь должна рассматриваться как медленно меняющаяся функция), которая зависит от начальных условий:
(П. 1.42) * (х, 0 ~ [Г"Vn [j^e-^W (?)].
Пример 2: Уравнение теплопроводности
Tt = KTxx, — оо < д: < оо, х, / > О, T-* О при | х |-> оо, (П. 1.43) г (*,/ = 0) = 7-,(*).
Если T0(X)—вещественная функция, то T можно интерпретировать (например) как температуру одноатомного неподвижного газа в длинной трубке. Боковая поверхность трубки должна быть теплоизолирована. Температура измерена относительно некоторой температуры T > 0, так что (Т + Т) является абсолютной температурой. Поток тепла определяется выражением (-^ х).
Уравнение всегда можно представить в виде закона сохранения
ь
(П. 1.44) -§f\Tdx = KTx&
который гласит, что любое изменение средней температуры элементарного интервала обусловлено разностью потоков тепла через его границы.
Температура газа является мерой кинетической энергии (хаотического движения) молекул, а (П.1.44)—это закон сохранения энергии для уравнения (П. 1.43). Однако величина T не обязательно положительна, поэтому для изучения вопросов единственности формула (П.1.44) бесполезна.
Подходящий «интеграл энергии», который не имеет отношения к физической энергии, может быть получен умножением (П. 1.43) на T и последующим интегрированием по частям:
ь ь
(П. 1.45) -I ± J T2,dx = HTxT ? - и J (Tx)2 dx.
а а П. 1. Преобразование Фурье 39?
Это выражение не является законом сохранения (интеграл ^T2 dx не сохраняется), однако его можно использовать длядоказатель-
Soo
T2 dx су-
— OO
ществует в начальный момент времени и положительно определен. Из формулы (П. 1.45) следует, что если первое слагаемое обращается в нуль на границе, то рассмотренный интеграл не возрастает со временем и, следовательно, решение остается в L2 при t > 0. Как и в предыдущей задаче, единственность доказывается вычислением ^tfdx для разности двух решений, имеющих одно и то же начальное условие, и применением формулы (П. 1.45), из которой следует, что разность остается равной нулю при t > 0.
Дисперсионное соотношение для (П. 1.43) имеет вид (П. 1.46) ш = — ivk2.
Отсюда следует, что Im (©) ^ 0, т. е. задача является асимптотически устойчивой. Это утверждение остается в силе для случая, когда в (П.1.45) —оо < х < оо, и означает, что энергетический интеграл должен убывать во времени при любом положительном начальном значении. Действительно, Im(со) = O только для k = 0; тот факт, что w = 0 при k = 0, означает независимость от времени величины
T(k = 0)=^T dx.
Это утверждение является перефразировкой (П.1.44). Решение уравнения (П. 1.43) имеет вид
OO
(П. 1.47) T (x,t)=~ 5 T0 (k) e-"k'*+*x dk,
— OO
где T0 (—k) = To{k), так как Т0(х) — вещественная функция. Проверка этого факта не представляет труда, в формуле (П. 1.47) допустимо дифференцирование под знаком интеграла при t > О (любое число раз).
Для больших t —V оо основной вклад в интеграл (П. 1.47) дает окрестность точки k = 0, в которой Im (со) = 0. Если T0(k) является аналитической функцией, то ее можно разложить в ряд Тейлора в окрестности k= О и по отдельности вычислить интегралы. Используя тождества
T0(O) = \ T0(X)dx, ІҐ^О) =J хТ0(х) dx и т. д., 412
Приложение. Линейные задачи
мы получим
\ То (S) / \
т (х, о = --T7r-ехр{- — ] +
(П. 1.48) г 1 Ш)
d^ X r-^U
2 У я (ut) 2 (2х/)1/2 ЄХр V ш)
Вновь мы приходим к выводу, что при оо решение стремится к автомодельному. В этом случае медленных модуляций нет, потому что весь вклад определяется окрестностью X = O. Пример 3: Линеаризованное уравнение Кортевега — де Фриза
ut +uXXX= 0, — OO < X < оо, / > О,
(П.1.49) и->0 при I je I->оо,
и (X, О) = U (х).
Открытие МОЗР последовало после открытия Миурой (1968) (379) точного взаимного преобразования уравнения Кортевега— де Фриза (КдФ)
Щ + иих + иххх = О
и модифицированного уравнения КдФ
Vt + V2Vx -f vxxx = 0.
В пределе малых амплитуд оба этих уравнения сводятся к (П. 1.49). Другие приложения (П. 1.49) обсуждаются в упражнениях.
Если функция U (х) вещественна, то и остается вещественной для t > 0. Мы будем рассматривать только вещественные решения. Независящим от времени энергетическим интегралом в этой
задаче является ^u2 dx. Таким образом, пространство L2 подходит для наших исследований, и решения (П. 1.49) единственны в L2. Ввиду того что ^ и2 dx не зависит от времени, дисперсионное соотношение должно быть вещественно, что подтверждается подстановкой exp (ikx — mt) в (П. 1.49):
