Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
I- —OO J
хотя для g задается только одно граничное условие (при х
—оо). Однако если U(x) и G(x) имеют компактный носитель, то можно показать, что в любой момент времени і) имеет компактный носитель. Следовательно, правая часть (П.2.2) обращается в нуль.
Для завершения обсуждения мы предположим, что U (х) и G(x) достаточно быстро стремятся к 0, так что в любой момент времени правая часть ^П.2.2) обращается в нуль. Следовательно, g є L2 в любой момент времени, и (П.2.1) имеет единственное решение.
Таким образом, (П.2.1) имеет интеграл энергии, не зависящий от времени, но это не исключает экспоненциального затуха- П. 2. Неадекватность метода Фурье
.425
ния f к нулю при /-»- оо, что обеспечивает соответствующий рост g.
Действительно, если U(x) симметрична и G (я) антисимметрична по х, то задача (П.2.1) строго обратима во времени, т. е. инвариантна относительно преобразования
(П.2.3) /->—/, х-> — х, g-* — g.
Даже при этом условии f может убывать при /-»-оо; обратимость во времени означает только то, что она также убывает при /-э—оо. (Такое поведение коренным образом отличается от решений уравнения теплопроводности, которые также экспоненциально затухает, но необратимо во времени.) .
Покажем, что метод преобразования Фурье неприменим к (П.2.1), потому что задача не имеет дисперсионного соотношения. Применяя обычный анзатц, следует проявлять некоторую осторожность. Это обусловлено наличием в уравнении интегральных членов. Используя тот факт, что g и U принадлежат L2, применим преобразование Фурье (по х) и получим
(П.2.4а) A f (/) = - J U (- k)g (k, t) dk,
(П.2.4b) X g (k, t) + ikvg (k, І) = U (k) f (/).
Затем предположим, что для каждой моды
f ~ f (со) е~ш, й (k, t)~g (k, <о) е~ш.
Более точно,
(П.2.5) f (0 = J F H е~шda», g(k, O=Jff (A. е~шda,
где fug для того, чтобы интеграл был определен, следует понимать как обобщенные функции (см., например, [329]). Тогда (П.2.4) принимает вид
(П.2.6а) - /соJ (со) = - J ?7 (- k) § (k, со) dk, (П.2.6Ь) (- /со + ikv) g (k, (a) = U (k) J (со).
Если исключить J из (П.2.6), умножить полученное уравнение на g, использовать вещественность U (х) и проинтегрировать по всем вещественным k, то в результате получим формулу
(П.2.7) -со2 $|#|2<ta + <oi>\k\gfdk +
+ а|\Q(-k)g(k, (й)с/б|2 = 0. 426
Приложение. Линейные задачи
Это — квадратичное уравнение с вещественными коэффициентами относительно (о. Его дискриминант положителен, следовательно, (П.2.7) имеет два вещественных корня. Таким образом, если g вещественно, то о) должна быть вещественной, что согласуется с существованием интеграла энергии (П.2.2). Однако из (П.2.7) не следует ни существования дисперсионного соотношения, ни его отсутствия, потому что § осталась неопределенной.
Решим (П.2.6Ь) относительно g. Общее решение (формальное) (см. [329]) имеет вид
(П.2.8) g (k, со) = ffflff + 1С (со) б (kv - со).
В первом слагаемом мы берем только главную часть сингулярной функции, во втором слагаемом б — это дельта-функция Дирака, С (со) произвольна. Особыми случаями являются С (со) = = ±nO {u)/v)f((o); они соответствуют контурам, обходящим сингулярность на комплексной плоскости со сверху или снизу. Подставляя (П.2.8) в (П.2.6а), получим
<"¦»••» [• + -?-f fW--ш0(--г-)с(«.)-0.
Но это выражение лишь устанавливает зависимость С (со) от f(со); оно не определяет со(k). Это — важное различие между (П.2.1) и задачей, обсужденной в предыдущем разделе: для любого фиксированного k в (П.2.1) допустимы все вещественные со и не существует дисперсионного соотношения. (Это отличие ясно сформулировал ван Кампен [489] для линеаризованного уравнения Власова.)
Читателю может показаться неожиданным появление обобщенных функций. В действительности они все время подразумевались, однако не было необходимости их рассматривать. Чтобы увидеть это, рассмотрим некоторую разновидность задачи (П.2.1), у которой есть дисперсионное соотношение:
4/(0 = -аЫ*. i)dx = — ag(0, t),
(П-2Л°) а а
0 + t) = U(x)f(t).
Поступая как выше, из (П.2.10) получаем (П.2.1 la) — i(af (со) = — ctg (0, со),
(П.2.1 lb) і (kv — со) g (k, со) = ?>(?)/(со).
Из уравнения (П.2.1 lb) следует (П.2.8) при ? = 0,
g (О.со) = / ^MM. + ІС (СО) б (-со). П. 2. Неадекватность метода Фурье
.427
Однако, подставив это выражение в (П.2.1 IaJ и умножив на м, получим
(П.2.12) fco2 — aU (0)] f (оо) = 0.
Так как /(ш) произвольна, то (П.2.12) определяет со2. Таким образом, в этой задаче также появляются обобщенные функции, но у нее есть вполне определенное дисперсионное соотношение. На данном этапе мы показали неприменимость метода преобразований Фурье, если нет дисперсионного соотношения. Преобразования же Фурье — Лапласа представляют другой подход, который часто приводит к успеху в тех случаях, когда метод преобразования Фурье неприменим. Далее используем преобразования Фурье — Лапласа для того, чтобы решить (П.2.1).
Решим (П.2.4Ь) относительно ?(k, і) в зависимости от f(t), а затем проделаем обратное преобразование Фурье. Получим t
