Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
где Ii, I2, I3 пропорциональны первым трем законам сохранения уравнения (4.3.29). Каково соответствующее разложение для го- 396
4. Приложение
ризонтального импульса и энергии? Это дает некоторое понимание того, почему (4.3.29) имеет бесконечно много интегралов движения: они являются коэффициентами асимптотического разложения точно сохраняющейся величины, такой, как М. Остается открытым вопрос, почему другие аппроксимирующие уравнения имеют лишь конечное число таких интегралов.
Раздел 4.4
1. Псевдосферические поверхности.
(a) Каждое решение уравнения sin-Гордон определяет семейство псевдосферических поверхностей. Здесь ф обозначает угол между асимптотическими линиями, которые совпадают, если ф = яп. Но они должны отличаться, если полная кривизна отрицательна; таким образом, линии, вдоль которых ф = пп, являются сингулярными линиями поверхности. Согласно теореме Гильберта, каждая псевдосферическая поверхность содержит по крайней мере одну сингулярную линию: это есть следствие тео: ремы Гаусса — Бонне.
(b) В нашем распоряжении имеется огромное множество решений уравнения sin-Гордон, включая точные солитонные решения (или «кинки» (4.4.1)). Каждое такое решение определяет псевдосферические поверхности, которые соединяются вдоль своих сингулярных линий. Интересно построить геометрические объекты, соответствующие одному кинку, двум кинкам, паре кинк — антикинк, бризеру и т. д.
2. Мак-Кол и Хан предложили простую механическую аналогию СИП. Рассмотрим ряд идеальных одинаковых маятников, отделенных друг от друга и подвешенных в линию над горизонтальной поверхностью.
(a) Если шар, масса которого превосходит массу маятника тш > ты, катится по плоскости, то он отдает часть своего импульса каждому маятнику, с которым сталкивается, до тех пор, пока не отдаст весь свой импульс среде (маятникам). Покажите, что скорость шара после /2-го соударения равна Vn = = У0ехр(—an), где а = 1п((тш + т„)/(тш — тм)). Это аналог закона Бэра.
(b) Если масса шара равна массе маятника и если его начальная скорость достаточна для полного оборота маятника, покажите, что шар отдаст весь свой импульс маятнику, подождет, пока маятник совершит полный оборот, получит обратно весь свой импульс и покатится с первоначальной скоростью к следующему маятнику. Это является аналогом СИП. Какой начальный импульс необходим для СИП? Какова средняя скорость шара, если превышена минимальная скорость? Что если начальная скорость равна ей точно? Что произойдет, если начальная скорость слишком мала? Упражнения 397
(c) Что произойдет, если масса маятника больше, чем масса шара?
(d) Эти результаты мы получили, предполагая, что шар и маятники являются точечными. Что произойдет, если они оба имеют конечные диаметры?
3. Покажите из (4.4.8), что для любого электрического поля
j I dtp I2 + W21 р I2 -}- 1H2 j = 0.
Каков физический смысл этого тождества? Покажите, что отсюда следует |р| = 0(f).
4. Покажите, что любые другие слагаемые, добавленные к имеющимся в (4.4.13), не являются секулярными и не изменяют (4.4.14, 15, 16).
5. (а) Покажите, что увеличение амплитуды 2л-импульса в СИП увеличивает скорость его распространения.
(Ь) Конкретный вид (4.4.10) можно найти, полагая
, .__1__г
ё ~ я (и - O0)2 + Г2 •
Для этого случая точно вычислите скорость 2л-импульса. Приложение. Линейные задачи
П.1. Преобразование Фурье. Цель данного раздела — описать особенности применения методов преобразования Фурье для решения некоторых линейных уравнений и продемонстрировать метод на нескольких примерах. Более точно, описываемый метод представляет собой разделение переменных, конечным результатом которого является представление решения через его фурье-образ. Метод также можно интерпретировать как отыскание «нормальных мод», или отыскание решений в виде еікх~ш. Данный метод не всегда эквивалентен преобразованию Фурье — Лапласа, мы обсудим отличие между этими двумя подходами в следующем разделе.
Простейшие типы эволюционных уравнений, для которых эффективен метод преобразования Фурье, могут быть выражены в виде
(П.1.1) Ut = F (и. их, ихх, ...),
где F линейна по своим аргументам, однородна и имеет постоянные коэффициенты. (П. 1.1) рассматривается в области —оо < <jc<oo, ( > 0 и предполагается, что и стремится к нулю при IXI -V оо и и(х, t) -*-и(х) при /->-0, где и(х) —заданная функция (начальное значение).
Даже для линейных эволюционных уравнений методы преобразований Фурье применимы к более широкому классу задач, чем (П. 1.1). Можно исследовать уравнения, включающие производные по времени более высокого порядка, или заменить скаляр и в (П.1.1) вектором (ыь и2, ..., uN), производя соответствующие изменения в F. Интерес могут также представлять уравнения, рассматриваемые на конечном интервале а < х < Ь, возможно, с периодическими граничными условиями. Некоторые из перечисленных обобщений исследованы в примерах и упражнениях в конце раздела.
Рассмотрим основные шаги, осуществляемые при реализации метода.
1. Имеет ли задача единственное решение?
