Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 136

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 164 >> Следующая


Энергетический интеграл в этом случае имеет более сложный вид:

OO

(П. 1.63) J (4 + и\ + и2) dX - 2UxUt I^oo = 0.

—«оо

Следовательно, для наших целей теперь недостаточно того, что и є L2, необходимо также чтобы ит и их также были из L2. Если начальные условия принадлежат такому несколько суженному пространству, то (П.1.63) гарантирует, что решение остается в нем при T > 0. Более того, в этом пространстве существует по крайней мере одно решение задачи. С другой стороны, (П. 1.63) означает также, что если начальные условия не принадлежат данному пространству, то соответствующее решение также не будет ему принадлежать. (Заметим, что в этом отношении (П. 1.60) отличается от уравнения теплопроводности.) Причина состоит в том, что если интеграл существует, то из (П. 1.63) следует равенство нулю его производной по времени для любого Т.

Дисперсионное соотношение получается подстановкой и ~ ~ ехр(мХ — iQT):

(П. 1.64) Q = X2+1.

В соответствии с (П. 1.63) дисперсионное соотношение вещественно. Каждому вещественному к соответствуют два корня (П.1.64). Это объясняется тем, что задача содержит вторую производную по времени. Таким образом, существуют три представляющие интерес скорости:

(i) разрывы и или ее производных распространяются вдоль характеристик со скоростью I («скорость света»);

(ii) фазовой скоростью для заданного к является

Q л/и2 + 1
x x

(iii) групповой скоростью для заданного к является

dQ x
dx Vx2+ 1 П. 1. Преобразование Фурье 39?

Решение задачи в виде интеграла Фурье имеет вид

u{X,T)=L-\A (V)el*x+1 ^*5+1 гdx + (П. 1.65) j J

Если и и Ut вещественны при T = 0, то для всех вещественных % второй интеграл в (П. 1.65) комплексно сопряжен к первому. Если начальные данные имеют конечный интеграл энергии, то

(П.1.66) JL J (1 + х2) (I A I2 +1 В I2) dn = J (и2 + и\+и2) dx < оо.

Со временем решение не становится более гладким, и классическое решение существует для всех Х(Т > 0) только в том случае, если Uxx и Utx определены всюду при T = 0; в противном случае решения являются «слабыми». В частности, и имеет непрерывные вторые производные, согласно лемме Римана — Лебега, если

(П.1.67) J(1 + *2)(| A\ + \B\)dx< оо.

Для того чтобы определить поведение и при больших временах, мы должны найти точки стационарной фазы в (П. 1.65). Для фиксированного отношения Х/Т в первом интеграле стационарность имеет место, когда

(П. 1.68) — = --гг-=»* = - / /

v ' T Vx2+l л/Т2-X2

Используя формулу для стационарной фазы, при T-*- оо для \Х/Т\ < 1 получаем

(П.1,69) и(Х,Т)~---, Т Af- , / ,)Х

V > \ » / 2я (Г2 - X2f4 \ Vr2 -X2 J



Таким образом, асимптотическое решение внутри светового конуса представляет собой осцилляции, амплитуда которых убывает как T~i/2. Вне светового конуса поле и тождественно равно нулю, если в начальный момент оно имело компактный носитель.

Поведение и вдоль светового конуса (X/T = ±1) представляет интерес, в частности, потому, что оно позволяет найти «начальные данные», если (П. 1.62) рассматривается как задача о начальных условиях. Ее решение может быть получено из (П.1.69), если существует предел А(к) при х->±оо; предполо-

14 Зак. 114 418 Приложение. Линейные задачи

жим, что это требование выполнено. Если А также удовлетворяет (П.1.66), то

K312A (я) = о(1) при и ->±оо.

Таким образом, из (П.1.68, 69) следует, что при \Х/Т\-*-1 и T » 1

к3'2 А (к) I (2я)""2 -Xf = 0 (1).

Следовательно, только из предположения, что начальные условия имеют конечный энергетический интеграл и существует предел А(х), при х —*¦ ±оо вытекает убывание решения (П. 1.60) вдоль любой характеристики при T-*- оо, даже если оно является только слабым решением. Решение является классическим, если также выполнено и (П. 1.67), что обеспечивает более быстрое убывание.

Наконец, перепишем (П. 1.65) в характеристических координатах. Это удобнее сделать, заменив переменные интегрирования. Пусть

для первого интеграла используем % > 0, для второго 5 < 0. Формула (П.1.65) принимает вид

OO

(П. 1.70) H=X \ а (0 exp (?* - dl,

— OO

где

^^Ua+rM^-r1)), С<0.

Ясно, что (П.1.70) имеет вид решений (ПЛ.62) в форме преобразования Фурье. Также ясно, что интеграл не имеет смысла при t Ф 0, если не выполнено условие

(П.1.71) J^(O)=O.

На первый взгляд это дополнительное ограничение на «начальные данные» (т. е. вдоль характеристики t = 0) может показаться неестественным. Однако если начальные данные удовлетворяют в лабораторных координатах условию (П. 1.67), с тем чтобы всюду было определено преобразование по характеристическим координатам, то гарантировано выполнение (П. 1.71). Аналогичное условие для уравнения sin-Гордон было получено Kay-пом и Ньюэллом [268] П. 1. Преобразование Фурье

419

Пример 5: Дискретные задачи. Полудискретным вариантом (П. 1.23—25) служит

(П. 1.72)

1Ж w = v. w + v. w - 2^ м>

п = 0, ±1, ±2.....т > О,

при I га I -> оо, т > О,

OO

ф„ (T = O) = Ire, причем ZllPJ2=I.

Здесь 'фп(т) является п-й функцией, зависящей от времени т. В этих примерах индекс (-)п обозначает дискретную координату, а не дифференцирование.
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed