Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 130

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 164 >> Следующая


Полезная информация часто может быть получена путем отыскания нескольких «законов сохранения», т. е. связей П. 1. Преобразование Фурье

39?

вида

(П. 1.2)

4fT+-lhF = О,

dt

дх

где TnF могут зависеть от х, і и производных от и. Во многих случаях уравнение само но себе имеет вид (П.1.2). Иногда посредством умножения этого уравнения на некоторую функцию (в том числе и, их и т. д.) и последующего интегрирования по частям удается получить другие законы сохранения. В любом случае, если граничные условия требуют, чтобы F стремилась

к нулю при \х\ -> ос и если \ T dx определен при t = О, то

этот интеграл не зависит от времени. Особое значение имеют те законы сохранения, из которых следует положительная определенность Т, т. е.

Тогда ^Tdx может определять норму для некоторого пространства функций, и единственность решения (в этом пространстве) следует непосредственно из закона сохранения. В этих случаях

^ T dx будет интерпретироваться как «интеграл энергии» системы независимо от того, соответствует ли он физической энергии. Более того, этот интеграл энергии не обязательно должен быть связанным с гамильтонианом, системы, если таковой существует. Фридрихе [169] широко использовал «энергетический метод» для исследования единственности решений симметричных, положительно определенных систем дифференциальных уравнений. Как обсуждали Рихтмайер и Мортон [431], похожие методы могут быть использованы для проверки устойчивости конечно-разностных схем. Этот подход особенно полезен для уравнений, к которым применим МОЗР, так как зачастую одна из сохраняющихся величин допускает энергетическую интерпретацию.

Не во всех задачах возникают интегралы энергии, а в некоторых случаях функциональные пространства недостаточно богаты для того, чтобы применить рассмотренный подход. В этих случаях на вопрос о единственности нужно отвечать другими способами.

2. Существует ли дисперсионное соотношение? Подставим пробное решение в форме

(П. 1.4) и (х, t) ~ A exp (ikx — Ш)

в дифференциальное уравнение. Здесь k вещественное, а со — некоторое комплексное число. Для того чтобы метод работал.

(П. 1.3)

Т>0 и г = 0=>« = 0. 400 Приложение. Линейные задачи

дифференциальное уравнение должно быть сведено к (П. 1.5) D (со, k) Aexp (ikx — /со/) = 0

(для всех (X, /)). Экспонента (или даже ее вещественная или мнимая части) не может обращаться в нуль при всех (х, і), а /1=0 представляет собой тривиальное решение. Таким образом, (П. 1.4) является нетривиальным решением дифференциального уравнения в частных производных только в том случае, когда и и k связаны дисперсионным соотношением

(П. 1.6) D (со, k) = 0.

Этот шаг можно реализовать несколькими способами.

(І) Если задача определена на отрезке а < х < Ь, а не на —оо < X < оо, то k обычно сводится к счетному множеству вещественных величин.

(H) Для системы уравнений л-го порядка заменим (П. 1.4)

на

(П. 1.7) V (х, /) ~ А ехр (ikx — /со/).

Тогда (П.1.5) принимает вид

MA ехр (ikx — /со/) = О,

где М_—матрица п X п. Дисперсионное соотношение определится выражением

(П.1.8) det (M)=O.

(iii) Для дифференциально-разностных уравнений (дискретных в пространстве и непрерывных во времени) заменим (П. 1.4) на

(П. 1.9) и„ (0 ~Аг" ехр (—»©/),

где z — комплексное число на единичной окружности, а п — целое. (Аналогия с (П. 1.4) станет более очевидна, если положить z = exp(t'0), где 0 — вещественное число.) Тогда дисперсионное соотношение принимает вид

(П.1.10) D (со, г) = 0.

(iv) Для конечно-разностной схемы (дискретной по пространственной и временной переменным) заменим (П.1.4) на

(П. 1.11) uZ~ AQmZa,

где z лежит на единичной окружности, Q — комплексное число, m, п — целые. Дисперсионное соотношение имеет вид

(ПЛ. 12) D(Q1Z) = O, П. 1. Преобразование Фурье

39?

Следуя работе фон Неймана [491], посвященной устойчивости разностных схем, величину Q в численном анализе часто называют множителем перехода.

Вернемся к непрерывной задаче и к (П. 1.6).

3. Полна ли система нормальных мод?

Решим (П.1.6) относительно со(&). Для каждого k число решений должно быть равно порядку (производных по t) дифференциального уравнения.

При любом фиксированном t каждое [k, со(&)] в (П.1.4) представляет одну «моду» в интеграле Фурье (или сумме), и суммирование по модам определяет (формальное) решение дифференциальных уравнений. Суммирование производится по всем вещественным k (для —оо < X < оо):

OO

(П. 1.13) и(х, 0=2^- \ A(k)exp(ikx — M)dk,

— 00

если на k не наложены дополнительные ограничения. Метод применим, если в виде суммы может быть выражено произвольное начальное условие и, щ и т. д. при t = 0. («Произвол» следует понимать в смысле некоторого функционального пространства, такого, как, например, L2, т. е. в пространстве квадратично интегрируемых функций.)

Описанный выше метод не применим, если не существует дисперсионного соотношения (т. е. для фиксированного fe со не ограничено) или если система нормальных мод не полна и, следовательно, не может представить начальное условие. Несколько подобных примеров дается в следующем разделе.
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed