Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Конечно-разностная схема (Кранка — Никольсона) для (П. 1.23—25) имеет вид
лт+1 _ ,hm ,I,"1+1 4- ill"1+1 — 9ihm+1 (II.i./o,) —і B-=---1-
2ft2
Здесь при I n I ->oo, il?" = ^; заданы, причем
Zra=-OoI1FnI2 = 1. Верхний индекс обозначает дискретное время, а не степень. Выражение (П. 1.73) представляет собой подходящую схему для вычисления приближенного решения (П. 1.23—25). Уравнения (П. 1.72) мы можем рассматривать как промежуточные между (П. 1.23) и (П.1.73).
Методы исследования моделей (П. 1.72) и (П. 1.73) во многом схожи и являются аналогом уже обсуждавшихся методов, основанных на преобразовании Фурье. Мы остановимся на изучении (7.1.72), оставив (П. 1.73) в качестве упражнения. Для начала мы получим «энергетический интеграл» уравнений (П. 1.72), умножая их на г|)* и вычитая уравнение, комплексно сопряженное к полученному в результате такого умножения. Суммируя по всем п, получаем формулу
OO
(П. 1.74) ? Itn(T)I2 = O,
/lsa-OO
которая является аналогом (П. 1.27). В качестве соответствующего функционального пространства для рассматриваемой задачи выбирается h — множество квадратично суммируемых последовательностей. Из формулы (П. 1.74) следует единственность решения.
14*420 Приложение. Линейные задачи
Дисперсионное соотношение определяется подстановкой (П. 1.9) в (П. 1.72) и имеет вид
(П.1.75) со = ~(г~ 1)2 .
При I zI = 1 величина со вещественна. Как и ранее, вещественное дисперсионное соотношение согласуется с существованием не зависящего от времени энергетического интеграла.
Следующим шагом является имитация преобразования Фурье. В простейшем случае можно предположить, что
OO
(ПЛ.76) Z I^mKoo-
т= —оо
Поэтому функция
(П. 1.77) ?(2)= ?4>mZ-m,
т.
определенная для комплексного z, лежащего на единичном круге, является аналогом фурье-образа. Обратное преобразование есть результат умножения (П.1.77) на zn~l и последующего интегрирования по единичной окружности:
-X § {j, (2) гп-1 dz = X- ф Yj Ч»»*-™+"-1 dz.
т
Принимая во внимание (П.1.76) и то, что интегрирование непрерывной функции производится на ограниченном интервале, можно, применяя теорему Фубини, поменять местами порядок интегрирования и суммирования. Использованием интегральной теоремы Коши получим формулу, обратную к (П.1.77):
(П.1.78) я)J11 =-JL-ф $ (z) 2"-1*?.
Теперь можно строить решение (П. 1.72), используя «преобразование Фурье»:
(П. 1.79а) іМт) = -Хфф(2)ехр[г(г-\fz-H]zn~l dz,
где интегрирование производится вдоль единичной окружности и
(П.1.79Ь) Ф(2) = ? ^mZ-"1.
т
Другое представление можно получить подстановкой
z = ei&, V (г) = T (в),П. 1. Преобразование Фурье
39?
так что (П. 1.79а) принимает вид
2л
(П. 1.80) Ik(T) = -L J ?(9)ехр{/яб + 2гт(с<»Є- 1)} dB.
о
Строя решения уравнений (П. 1.72), мы считали п дискретной переменной, принимающей только целые значения. Однако решения определены для любого вещественного п хотя, быть может, случай целых значений п более интересен. Это небольшое изменение точки зрения позволяет вычислить (П. 1.80) при т->--+¦ оо обычными асимптотическими методами. Предположим, что отношение п/х является произвольной фиксированной постоянной, а X велико. Фаза подынтегральной функции (П. 1.80) равна
тф(9; = [^e + 2(cos9-1)]т,
и стационарные точки определяются из (П.1.81) і = 2 sinO.
Формула (П.1.81) определяет групповую скорость, соответствующую дисперсионному соотношению (П. 1.75). Важно заметить, что групповая скорость (П. 1.72) ограничена. Это свидетельствует о качественном различии между (П.1.72) и (П.1.23). В задаче (П. 1.23) групповая скорость определяется формулой (П. 1.36) и сколько угодно большим волновым числам соответствуют сколько угодно большие скорости. Пространственная дискретизация в (П.1.72) приводит к ограничению максимального волнового числа, что в свою очередь ограничивает групповую скорость, как видно из формулы (П.1.81).
В стационарных точках вторая производная
ф" (0) = — 2 cos 0,
за исключением точек 0 = я/2 и Зя/2, в которых п/х = +2 и —2 соответственно, не равна нулю. Третья производная ф'"(0) в таких особых точках не равна нулю. Эта информация позволяет определить асимптотическое поведение решения при 00. Приведем сводку основных результатов.
(І) Если \п\ <2т, то решение осциллирует с амплитудой, убывающей как х~1/2. Поведение решения (П. 1.72) в этой области качественно совпадает с (П. 1.23).
(H) При I п I 2т интеграл не имеет стационарных точек, поэтому решение убывает быстрее, чем т-1. Если начальные условия имеют компактный носитель, то скорость убывания в этой области будет экспоненциальной. Как мы обсуждали, эта относительно спокойная область своим существованием обязана то-422
Приложение. Линейные задачи
му, что из решения (П. 1.72) исключаются очень большие волновые числа (по х).
(ІІІ) Вблизи п = ±2я существует волновой фронт, не имеющий аналога в непрерывной задаче. Вблизи волнового фронта, который при т -*¦ оо становится главной отличительной чертой решения, убывание происходит по закону т~1/3.