Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
39?
Если \|)(л:) или ее производная разрывны, то дифференцировать под интегралом нельзя. Дифференцирование будет возможно, если V (k) аналитически продолжаема в комплексную плоскость. В простейшем случае контур интегрирования по k может быть повернут относительно вещественной оси на угол (—6), 0 < o < я/2, так, чтобы при этом не происходило пересечения сингулярности на ограниченной части плоскости, как показано на рис. П.1. Нам также нужно, чтобы *F(ft)-vO при I fe I-V оо достаточно быстро в секторе, ометаемом при деформации контура. При этих условиях, согласно интегральной теореме Коши, интегрирование вдоль деформированного контура дает тот же результат, что и интеграл вдоль первоначального контура интегральной теоремы Гаусса. Но для преобразования
k-+rel\ Im (г) = 0, 0<6<у,
(П. 1.34) ^2/cos + 2б)) ехр [—irH sin ("f+26))
и при t > О интеграл сходится экспоненциально быстро, когда |г| -V оо. Следовательно, даже если -ф(л:) разрывна, то решение (П. 1.23), которое получается из него при t > О, не только непрерывно, но и бесконечно дифференцируемо! Это демонстрирует сглаживающее действие оператора Шрёдингера. Характерный пример рассматривается в упр. 1.
Если Ф не допускает ни дифференцирования под интегралом, ни продолжения в комплексную плоскость, то становится необходимым рассмотрение «слабого решения» (см, [317] или [319]). Тем не менее обычно может быть применен либо один, либо другой из обсуждавшихся выше методов. Таким образом, мы показали, что задача имеет не более одного решения вида (П.1.33) в L2.
Остается описать асимптотическое поведение решения при f-v оо. Для того чтобы сделать это, заметим, что (П.1.33) имеет вид
(П. 1.35а) J Ф (Jfe) в*» <*> * rfA,
где
(П. 1.35b) v(k) = k-j-(o(k) = k-j-k2,
Н-пкскоат Исходный контур
Рис. ПЛ. Контур в (П. 1.32).
Десрормиробанний контур
Осс&нности УМ интегрирования 408
Приложение. Линейные задачи
если зафиксирована величина (x/t) при tоо. Интуитивная картина, на которой основан метод стационарной фазы Кельвина (см. [116]), состоит в следующем. Рассматриваемый интеграл является суперпозицией бесконечного числа волновых цугов, но для достаточно больших t фазы волновых цугов, представленных через k и (k-\-bk), будут значительно различаться до тех пор, пока не обратится в нуль ф'(/г). Таким образом, при интегрировании следует ожидать взаимного уничтожения большинства интерферирующих волновых цугов, и поэтому основные вклады в интеграл должны внести малые окрестности точек, где ф'(&) обращается в нуль (т. е. где фаза ф(k)t стационарна). Согласно этому, естественно предположить, что отдельное волновое число k будет определять решение, где
(П. 1.36) ф' (k) = -J- - 2к = -f - св (k) = 0.
Это показывает важность понятия групповой скорости: при f->oo каждое волновое число k определяет решение в области, приближенно задаваемой (П.1.36).
Таким образом, (k — bk) преобладает вдоль одной прямой линии в пространстве (х, /), a (k + б/г) вдоль слегка отличной прямой линии, Следовательно, не зависящий от времени вклад в интеграл энергии от пакета волновых чисел
к+Ьк
S
fe-б к.
распределен по области пространства, которая растет линейно во времени. Это предполагает, что | г|з |2 будет уменьшаться как
t~l (сохраняя ^ I of) I2 fi^). так что
(П. 1.37) Ж = 0(Г]/2) при сю.
Для того чтобы эти эвристические рассуждения оказались справедливыми, необходимо, чтобы ф"(&) ф 0. Если ф"(?) =-- 0, то траектории (k ± bk) разделяются более медленно, и скорость затухания соответственно медленнее, чем определяемая формулой (П. 1.37).
Метод стационарной фазы дает явные формулы, описывающие характерное поведение г|>, однако самый легкий способ получения этих формул состоит в использовании метода наибыстрейшего спуска Дебая (см. [116]). Для определенного значения (x/t) он состоит из продолжения xF(k) в комплексную ^"ПЛОСКОСТЬ и деформации пути интегрирования по k так, чтобы (і) он проходил через нуль ф'(?); П. 1. Преобразование Фурье 39?
(ІІ) вещественная часть <p(k) оставалась постоянной вдоль пути;
(iii) мнимая часть tp(ft) была максимальна в нуле ф'(&). В некоторых случаях могут возникнуть некоторые затруднения, но для (П.1.35) единственный нуль ф'(?) определяется формулой k = (х/21) и полностью деформированный путь задается формулой
—оо < г < оо. При таком преобразовании переменных (П. 1.33) принимает вид
(П. 1.38) о = ^exp (г7(,?-)2_ .
оо
~г'(т)) S V + Л",
— OO
где снова предполагается, что при повороте не пересекаются никакие сингулярности Ф (см., однако, упр. 2). Если xF не имеет особенностей, то основной вклад в интеграл при t оо дает окрестность г = 0. Таким образом, мы разлагаем Ф в ряд Тейлора вблизи k = (х/2і) и оцениваем каждый из получающихся интегралов. В результате получим
(П.1.39) Ч>(*. TJSaf(llH)'~
-'(т)) ["№)+?*]•
Как установлено выше, ясно прослеживается роль групповой скорости (k = х/21), и амплитуда затухает как /~1/2. Если vF ведет себя достаточно хорошо, то (П. 1.39) справедливо для всех (x/t) при оо.
