Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Приложение. Линейные задачи
вид
OO
(П. 1.16) и (х, () = -—¦ J A(k)exp(ikx-i<at)dk,
-OO
где функция &(k) вещественна.
Приблизительная оценка таких интегралов — отдельная тема. Мы приводим здесь только основные идеи, более полное изложение читатель может найти в работах [116], [408] или [67]. В этих задачах также сохраняется энергия, но так как она может распределяться по бесконечному интервалу, то возможны асимптотические состояния. Для каждой моды точки постоянной фазы перемещаются с фазовой скоростью
(П.1.17) cp(k) = ф.
Если каждая волна имеет одну и ту же фазовую скорость (т. е. 0) = c0k), то решение в любой момент времени t > О является просто начальной функцией со сдвигом аргумента на величину Cot:
OO
(П. 1.18) и(х, t) = L- ^ A(k) exp (ik (x - c0t)) dk = u(x — c0t, 0).
-oo
Задача является дисперсионной, если (П. 1.19) dt&jdk2 Ф 0.
Здесь различные волны имеют уже различные фазовые скорости, и поведение решения зависит от того, как волны интерферируют друг с другом. В этом случае важным является понятие групповой скорости (ПЛ.20) cg(k) = da>/dk.
Значение этой скорости состоит в том, что по истечении достаточно большого времени каждое волновое число k преобладает в решении в области
(П.1.21) x~cg(k)l+o(t).
Точный вид решения в этой области может быть найден путем оценки (П.1.16) любым из двух родственных методов — методом стационарной фазы или методом наибыстрейшего спуска.
Некоторые уравнения в частных производных допускают автомодельные решения в форме
(П. 1.22) и(х, t) = rpf(xlf),
где р, q — постоянные, a f удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению. Другими словами, уравнение инва- П. 1. Преобразование Фурье
39?
риантно относительно преобразования
TbU-^bt, x-*bqx, и-+Ь~ри,
где b — скаляр. Множество всех таких преобразований (Ть) образует группу (см., например, [194]). Эти решения часто лежат вне интересующего нас функционального пространства (например, они необязательно должны быть квадратично интегрируемы по х). Тем не менее во многих задачах асимптотическое (t-*- оо) решение локально становится приблизительно автомодельным, но модулируется «медленно меняющейся» функцией, которая зависит от начального условия. Преимущества такого представления, когда оно возможно, следующие: (і) оно ясно указывает, какая часть решения обусловлена дифференциальным уравнением, а какая — начальными данными, (іі) оно может быть равномерно применимо для всех X (при t —*¦ оо), даже если представление, полученное методом стационарной фазы, этим свойством не обладает.
Этим завершается обсуждение метода. Далее мы покажем его применение на некоторых характерных примерах. Пример 1: Уравнение Шрёдингера
(П.1.23) + = — ооСхСоо, />0,
(П. 1.24) 1|з->0 при X ~> оо,
(П.1.25) ф (jc, / = 0) = ф (*) с Jl^pd* = 1.
В квантовой механике i|)(>r, t) есть (комплексная) волновая функция свободной частицы, |it>|2(x, t) —плотность вероятности
нахождения частицы в точке х в момент времени t, a J | t fdx = = 1 допускает эту же интерпретацию при t = 0. Интересующий нас закон сохранения
(п. і .26) і (it р),+- =0
получен умножением (П.1.23) на г|э* (величина, комплексно-сопряженная ч|з) и вычитанием комплексно-сопряженного уравнения. Интегрирование (П. 1.26) по х дает не зависящий от времени «интеграл энергии»
(П. 1.27) Jltpd*= 1.
Этот интеграл определяет L2 как естественное пространство данной задачи, что хорошо согласуется с вероятностной интерпретацией. Покажем далее, что задача не может иметь двух различных решений в L2. 406
Приложение. Линейные задачи
Предположим, что существует два таких решения в L2. Тогда их разность А (я, t) лежит в L2, удовлетворяет (П. 1.23, 24) и равна нулю при t = 0. Следовательно,
(П. 1.28) ^ IAI2 rfjc = 0
для любого момента времени, так что А (я, t) тождественно равна нулю.
Для того чтобы найти дисперсионное соотношение, положим (П. 1.29) ~ i|)0 exp (ikx — iwt)
и получим
(П. 1.30) a>(k) = k2.
Здесь со вещественно для вещественных k, что мы предвидели из существования интеграла энергии.
Прежде чем приступить к построению решения, необходимо сделать следующее замечание. Если ц>(х) лежит в L2, то ее фурье-преобразование определяется через
OO
(П.1.31) Ф(?)= \ Ф(x)e~lkxdx.
— OO
Тогда обратное фурье-преобразование есть
OO
(П. 1.32) (P(X) = ^T $ (k)elkxdk.
— OO
Мы используем эти обозначения на протяжении всей книги. Чтобы получить формальное решение, просуммируем (П. 1.29) по всем модам:
OO
(П. 1.33) -ф (х, 0 = "2^ \ W(k)eikx-ikHdk,
— OO
где —фурье-преобразование начального условия.
В каком смысле этот интеграл решает задачу? Ясно, что он воспроизводит ^(х) при t = 0 по условию. Если абсолютно интегрируема на —оо < х < оо (т. е. является элементом Li),, то интеграл удовлетворяет (П.1.24) по теореме Римана — Лебега. (Эта известная теорема приведена в большинстве книг по анализу функций вещественной переменной, например [209].) Если Ф сходится достаточно быстро при |fe|->oo, чтобы выполнялось условие двукратной дифференцируемости под знаком интеграла, то интеграл также удовлетворяет (П. 1.23) и является (поточечным) решением задачи. П. 1. Преобразование Фурье
