Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
В тех случаях, когда метод работает, возникает интегральное представление решения. В каком смысле это «решение» действительно решает задачу — вопрос довольно тонкий, и он будет обсуждаться в контексте конкретных примеров.
4. Каков характер решения?
Реальное преимущество преобразований Фурье проявляется именно на этом шаге. После того как установлено, что нами получено общее решение начальной задачи, большая часть необходимой информации может быть получена из анализа дисперсионного соотношения. Скорость роста любой конкретной моды определяется по Im(со).
(і)* Если 1ш(ю)>0 для некоторого действительного k (т. е. для одной из возможных мод системы), то данная мода экспоненциально растет во времени, и задача является неустойчивой. Наиболее неустойчива та мода, которая имеет максимальную мнимую часть Im(со), если таковая существует. В тех случаях, когда начальная амплитуда такой моды не была в точности рав- 402
Приложение. Линейные задачи
на 0, то через достаточный промежуток времени она будет определять решение. Если же начальное условие было известно лишь внутри некоторого промежутка (который может зависеть, например, от метода измерения), то независимо от начальных условий следует ожидать, что решение будет определяться преобладающей модой.
(ii) Если Irn(ш) -> оо в любом пределе (например, &-voo), то не существует ограничений на скорость роста, и задача является некорректной (в смысле Адамара). В этом случае любая неопределенность в начальных данных фактически разрушает все предположения относительно поведения решения при t > 0. Если модель физической задачи некорректна, то на ее основе невозможно адекватным образом сформулировать математическую задачу.
(iii) Если Im(ю) < О для всех вещественных k, то задача является асимптотически устойчивой (или диссипативной), потому что каждая мода экспоненциально затухает при / > 0. По истечении достаточно долгого времени доминирующей модой, за исключением очень специальных начальных условий, является та, которая максимизирует Im(ш).
(iv) Если решение (П.1.1) может быть представлено в форме (П.1.13) с однозначно определенной (о(?), тогда ее интегралом
энергии является ^\ufdx. На основании равенства Парсеваля
J I и I2 dx = S I А W |2 exP Im (<D (W ^ dk-
Таким образом, в задаче существует не зависящий от времени интегралэнергии только в том случае, если Im (со) = 0 для вещественных k, т. е. дисперсионное соотношение является вещественным. В этом случае характерной особенностью решения является распространение волн, а не экспоненциальное затухание или рост. Таким свойством после линеаризации обладает большинство задач, обсуждавшихся в этой книге.
(v) Аналогично можно установить, что разностная схема является неустойчивой, если |Q| > 1 для некоторого 2, лежащего на единичной окружности, и устойчивой, если \z\ = 1 ==> |Q| =? ^ 1. Вещественное дисперсионное соотношение соответствует |г| - 1=> |Q| = 1.
Эти определения согласуются с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [65]). Это легко установить, представляя решения (П. 1.1) в виде
ц{х, 0=2^ S <)eikxdk\ П. 1. Преобразование Фурье
39?
тогда u(k, t) формально удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
-jj u = — /со (k) U,
устойчивость которого определяется через Im (со).
5. Каково поведение решения в задачах с вещественными дисперсионными соотношениями при больших временах?
Для задачи на ограниченном одномерном интервале соответствующее решение имеет вид
OO
(П. 1.14) и(х, /)=Z An ехр (iknx — /со„/).
Tf=-OO
Здесь {kn} зависит от длины интервала, con = со(kn) — от дисперсионного соотношения и {Л„} — от начального условия. Здесь kn и COn вещественны, и мы предполагаем, что соп однозначно определена. Тогда интеграл энергии определяется формулой
(П. 1.15) \\ufdx = ?|Л„|2,
п
если эта сумма существует.
Интуитивно ясно, что если фиксированное количество энергии заключено в ограниченном интервале в модах, которые не могут перераспределять энергию между собой, то тогда не должно быть и никакого асимптотического (t-*-oo) состояния. Это утверждение действительно справедливо: вместо стремления к асимптотическому состоянию система почти возвращается к своему начальному состоянию через конечное время («возвращае-мость Пуанкаре»).
Обоснованность этого утверждения может быть проверена путем аппроксимации решения (П.1.14) с любой желаемой точностью ограниченным набором мод:
N
uN (х, t) = Z An ехр (г'0„), Qn = knx — aj.
-N
Легко показать (см., например, [44]), что эта частичная сумма соответствует решению системы Гамильтона с (2N 1) степенями свободы. (Гамильтониан имеет вид H = t Z-лг' '2(o«> где I An\2 — переменные действия, а і0„ — угловые переменные.)
Далее по теореме Лиувилля о сохранении объема в фазовом пространстве устанавливаем, что не существует никакого асимптотического состояния, а по теореме возврата Пуанкаре видим, что почти каждое начальное состояние повторяется за конечное время. На неограниченном интервале обычное решение имеет 404
