Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Как проквантовать солитоны? Это вопрос, ответ на который ищется в настоящее время, и всесторонний обзор этой проблемы будет, вероятно, дан в ближайшие несколько лет. Нашей целью являлось просто указать некоторые важные работы в даній* 388
4. Приложение
ной области. В дополнение к только что упомянутым работам следует также отметить:
(і) вводные статьи Флашки, Мак-Лафлина, Хасслахера и Невё, Кэмпбелла, Нелла и Сюзерленда в материалах конференции под редакцией Флашки и Мак-Лафлина [161];
(H) статью Ребби (1979) [427] в журнале «Scientific American» о том, что автор в этой статье называет солитоном (а мы называем уединенной волной);
(iii) обзор интегрируемых квантовых систем, сделанный Руй-зенарсом [435], который содержит обширную библиографию;
(iv) применение обычной теории возмущений к квантовым солитонам, например Каллан и Гросс [85];
(v) работу Корепина, Кулиша и Соколова в сборнике под редакцией Захарова и Манакова [538].
Упражнения
Раздел 4.1
Физическим приложениям вполне интегрируемых длинноволновых моделей поистине нет конца, и каждый конкретный случай требует нового описания физической задачи, терминологии, исследуемых величин и т. д. Все приводимые здесь упражнения относятся к одному приложению, выбранному из-за того, что с
Zr fx+Sx) т(х+Sx)
ним знакомы почти все. Таким примером служат поперечные колебания натянутой струны типа гитарной струны или телефонного шнура. Общие сведения об этой задаче можно найти в [336], [170] или [389].
1. Рассмотрим бесконечно малый элемент натянутой струны, поперечное сечение которой при отсутствии деформаций всюду одинаково, как показано на рис. 4.20. (а) Покажите, что
P sin а F cos а), Упражнения 389
где р — постоянная линейная плотность материала, и
dw ,
IF = tSa-
(b) Покажите, что если можно пренебречь моментом инерции элемента, то
О в
дх cos а
(c) Согласно гипотезе Эйлера — Лагранжа,
EI д
M=-jf = -El-5r( sina),
где E — модуль Юнга, / — момент инерции поперечного сечения относительно оси, совпадающей с нейтральной линией, R — радиус кривизны нейтральной линии. Используя это, получите уравнение
д2 dw д2 . С1 2д3. )
p!F-ar = !F{rsina-?/cos aI^smct/-
Каков физический смысл каждого слагаемого этого уравнения?
(d). Пусть T обозначает натяжение неотклоненной струны. Покажите, что
где ц — неотрицательная эмпирическая константа. При каких условиях можно, пренебречь изменениями 7"? (В этом случае удобно рассмотреть как продольные, так и поперечные моды.)
2. Движение сгруны определяется уравнением п. (с) упр. 1 совместно с уравнениями пті. (а) и (Ь). На основе этих уравнений объясните смысл понятия «длинная волна». Что такое волна малой амплитуды? Выведите безразмерное уравнение
где є — мера малости амплитуды, б — параметр, показывающий, в какой степени волны можно считать длинными. Покажите, что предположение б = О(е) приводит к минимальным упрощениям уравнений. В линейном пределе (е -*¦ 0) совсем другим способом это уравнение вывел Мотт [389]. Мы рассмотрим три возможных типа граничных условий.
A. Струна гитары защемлена в двух точках, расстояние между которыми L. Длина волны возмущения X обычно имеет порядок O(L).
B. Струна защемлена в двух точках, но L > X, 390 4. Приложение
С. Струна с натяжением сматывается с одной катушки на другую. Расстояние между катушками равно L, скорость струны V.
3. Пусть 6 = 8 в уравнении упр. 2. Разложим и в ряд по степеням є2:
U = U0 + E2M1 + E4U2 +----
(a) Покажите, что в главном порядке общее решение имеет
вид
U0(х, i) = f(x-t) + g(x + t).
(b) Покажите, что в случае граничных условий А и В в упр. 2 fug являются периодическими функциями с периодом 2L6 {T/EI)112 и что
ф / dx = 0 = ф g dx.
(c) Покажите, что в случае граничных условий С период f и g равен 2Л/| 1 ± v\, где
Л = "ЫгУ.
Покажите, что если V2 > Т/р, то один из этих периодов меньше чем Л, и произвольное начальное условие нельзя наложить на всей длине струны Каков физический смысл этого ограничения? Какие предположения не могут быть выполнены в случае V2 > > Г/р?
4. Покажите, что если V2 < Т/р, то условия отсутствия секу-лярных членов при О (я2) в уравнении упр. 2 имеют вид
ft-6(Cg)fr-6/2/r-frrr = 0,
gx + 6 (Cf) gl + 6^? + gm = о,
где
Cf cI = aWl^V' T)rf/"
Покажите, что Cf и Cs являются интегралами движения для этих уравнений; следовательно, эволюционные уравнения для волн, бегущих влево и вправо, фактически расщепляются. Каковы физические предпосылки того, что поперечные колебания струны моделируются уравнениями мКдФ, в то время как продольные колебания моделируются уравнением КдФ? Если струна имеет круглое сечение, можно ли ожидать, что крутильные колебания будут моделироваться уравнениями КдФ или мКдФ?
5. (а) Показать, что каждое из уравнений упр. 4 имеет периодическое решение вида I == bk QH {b(r + Ux) \ kгде Ь — npQ- Упражнения
391
извольная постоянная и cn(0; k) —эллиптическая функция Яко-би (см. [83]). Запишите это решение в размерных переменных для Wx.
