Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(П.2.13) g(x, /) = — v(t-x))f(x)dx-\-G(x — vt).
о
Затем преобразуем (П.2.1) к единственному уравнению относительно
г оо
(П.2.14) ^L = -O \jf(x)K(v(t-x))dx-a J U (х) G (х - vi) dx,
О -оо
где
OO OO
(П.2.15) К (у) = J U(x-y)U(x)dx = ^ $ | U (k) P elky dk.
— OO -OO
(Так как К(у) —четная функция, знак в последующем рассмотрении может быть произвольным. Конечный результат не будет зависеть от его выбора, поэтому, зафиксировав знак один раз, следует последовательно придерживаться этого выбора.)
Ограничим рассмотрение случаями, в которых G(дг) = О (при t = О нет парных корреляций частиц). Тогда (П.2.15) сводится к
t
(П.2.16) -?- = -a\f(x)K(v(t-x))dx.
о
Для специального семейства потенциалов (П.2.16) можно решить в замкнутой форме (см. упр. 1). Нас интересуют общие свойства, которые не требуют специальных предположений относительно U(x). Преобразование Лапласа (П.2.16) после замены порядка интегрирования дает формулу
+ Re (P) >0. 428
Приложение. Линейные задачи
Обратное преобразование приводит к формальному решению уравнения (П.2.16)
(п.2.17) ,«-m^ + ^jLU^j-v,,,,
с
где контур Бромвича С параллелен мнимой оси и расположен справа от всех сингулярностей. Эти сингулярности являются решениями уравнения
~ I&I»
(П.2.18) P+lk) ТТШ dk = 0.
-OO
Оценивая (П.2.17), видим, как появляется затухание Ландау. Нетрудно показать, что решения (П.2.18) являются чисто мнимыми. Если мы положим р = ко, то это эквивалентно тому, что
к-плоскость
а) Исходный контур 5) Экбидалентный контур В)эк6иЫеипный контур Re (р)>0 Re (/>)>О Refpl=O
Рис. П.4. Контуры интегрирования в (П.2.18).
ю должна быть вещественна для вещественного k, как мы установили ранее в (П.2.7). Однако необходима некоторая осторожность при перемещении контура Бромвича через мнимую ось р-плоскости. (Эта дополнительная предосторожность и выявила различие между подходами Власова (1945) [490] и Ландау (1946) [31-5] к уравнению Власова для бесстолкновительной плазмы.) Если Re(p) > 0, то интеграл по ft в (П.2.18) берется вдоль контура, который обходит сингулярность k = ip/v снизу, как показано на рис. П.4а.
Согласно теореме Коши, интеграл по k не изменяется, если его контур деформируется, как показано на рис. П.46.
Пусть в соответствии с рис. П.4в Re(p)-»-0; в этом случае контур по-прежнему будет обходить сингулярность снизу. Но при этом R не обязательно должно быть вещественным числом, со также может быть комплексной. Следовательно, (П.2.18) принимает вид (при р = т)
0M.1« »+?f-gg&'«»+,ia<rwr-o.
где
(П.2.20) f -S^L dx = Hm [ \ -S^L dx + J JP?L dЛ
e^" I------S J П. 2. Неадекватность метода Фурье .429
есть интеграл в смысле главного значения. Решая (П.2.19) и сохраняя только члены порядка 0(a), получаем приближенное решение:
(О = COr + І(й{,
(П.2.21) сог = 1 U (0) I2 = ?- ( J U (X) dx)2> 0, со г = о (а).
Наконец, мы, подставляя это обратно в (П.2.17), определяем характерное поведение f при t-*-oо:
(П.2.22а) f (() ~ f (0) ехр {--?-( Jt/ dx)2t}. Эта формула также может быть записана в виде (П.2.22Ь) f <0 — f (0) ехр -J- J /С (г/) ,
что соответствует формуле Боголюбова [71], описывающей стремление к равновесию неравновесного распределения частиц. Из (П.2.22) следует, что существуют две возможности. Если
U dx = 0, то в низшем порядке по ос нет ни убывания, ни роста
f(t). Для исследования асимптотического поведения решения (П.2.1) требуется более точное решение (П.2.19), чем то, которое дается формулами (П.2.21). В главном порядке по a f так
же, как и J g2 dx, при / -> оо является постоянной.
Если J Udx=?0, то f экспоненциально стремится к нулю при
f-voo или (/-*—оо). Можно задать вопрос, насколько правомерно называть этот эффект «затуханием», но дело в том, что нуль является единственной устойчивой точкой функции f.
Задавая f(t) (приближенно) из (П.2.13), можно найти g(x,
t) (приближенно) при больших временах, если ^Udx=?0:
OO
(П.2.23) g (х, Q ~ f (0) J U (х - vt + от) e~T/f° dx =
о
= a (O)Z и[п) (X-Vt)(Uta)",
п-0
где 430
Приложение. Линейные задачи
Таким образом, g(x, t) стремится принять вид уединенной волны, не меняющей свою форму, которая движется со скоростью V и для которой справедлива формула a^g2dx = f2 (0).
Форма волны зависит от U (х). В заключение, если
(П.2.24) G(х) = 0, U(x) = U(-x), ^Udx Ф 0,
то (П.2.1) допускает обратимость по времени и обладает не зависящим от времени интегралом энергии. Однако в данном случае дисперсионного соотношения не существует, и при t-*-oо (или t-*-—оо) энергия с экспоненциальной скоростью перераспределяется от P к J g2 dx. Единственной устойчивой конфигурацией системы является / = 0, где g имеет вид уединенной волны неизменной формы.
Пример 2. Самоиндуцированная прозрачность (СИП) (линейное приближение).
Явление самоиндуцированной прозрачности подробно обсуждается в гл. 4. Уравнения имеют вид
Xx + 2iaX = eN
(П.2.25) Nx = - 4- (е'Я, + еЯ*)
<х>0, —оо<т<оо.
