Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
гх = (X)
Здесь е(х, т) — (комплексная) огибающая электрического поля, Х(х, х, а)— комплексная индуцированная поляризация, N(x, т, а)— (вещественная) нормированная инверсная заселенность и
OO
(П.2.26а) (A,)= J g (а) К (х, т, а) da,
— OO
где g (а) —неоднородное уширение спектральной линии. Предположим, что g — вещественная неотрицательная функция, нормированная следующим образом:
(П.2.26Ь) Jgda=I.
Обычные лабораторные эксперименты проводятся так, как если бы решалась задача с начальными значениями для х\ х = = О есть та точка, где электромагнитная волна впервые входит в резонансную среду. Соответствующие начальные и граничные условия для (П.2.25) имеют вид
X —>0, N-+-1 при г-* — оо для всех x > О,
(П.2.27)
е (х = 0, т) задана, J | є (0, т) | dl
< ОО.П. 2. Неадекватность метода Фурье .431
В этой задаче важно помнить, что х и т поменялись ролями: X — временная переменная, т — пространственная.
Нелинейная задача (П.2.25) для каждого х имеет не зависящий от времени интеграл энергии
(XX' + JV2) = 0.
Из граничных условий (т->—оо) следует, что для всех (х,т,а) (П.2.28) ЯГ +JV2=I.
Если электрическое поле в точке X = 0 слабо, то приближенное решение может быть получено линеаризацией (П.2.25) около его невозмущенного состояния при T = —оо. Таким образом, для б <С 1
є {х, t) ~ б? (х, т; б) + ... ,
(П.2.29) X (х, I, а) ~ 6Л (х, т, а; б) + ... ,
N{х, U а)--1 + 6Nw(x, т, а; б) + ... ,
и линеаризованные уравнения имеют вид
Лт + 2гаЛ= — Е, — оо < т < оо, х>0,
(П.2.30) ?* = <Л)'
JV(I)S о Л, ?->0 при т-> — оо,
?(0, т) задана ?(0, т)->0 при т->— оо.
Заметим, что линеаризованные уравнения содержат меньше неизвестных, чем исходная задача, и что после линеаризации не зависящего от времени интеграла движения больше не существует. Используя анзатц
(Л, ?)~(Л, Е)еікх~ш, преобразуем (П. 2.30) к виду
(П.2.31) <-J®+ *«)? =-Я.
IkE = (X).
Из этих уравнений следует, что
(П.2.32) 2k <а| X |2> + Ы (11\) = \ {X ) |2.
Для фиксированного вещественного а> (напомним, что х и т поменялись ролями) (П.2.32) является линейным уравнением на k с вещественными коэффициентами. Таким образом, k должно432 Приложение. Линейные задачи
быть вещественным, если вещественна to, но получить из (П.2.32) дисперсионного соотношения нельзя, так как К пока неизвестно. Как и прежде, можно решить (П.2.31) относительно А:
(П.2.33) A= — iC (fe, to) б (2а — <о),
где первое слагаемое справа понимается в смысле главного значения, C(k, со)—произвольная величина. Поэтому
(П.2.34) (А) = iE (-^) + 4- С (fe, со) g (-f) = IkE.
Это уравнение определяет C(k, со) через Е; на (fe, со) никаких ограничений не налагается. Таким образом, (П.2.30) не имеет дисперсионного соотношения, и мы должны решать эти уравнения другими средствами.
Анализ линеаризованных уравнений несколько упрощается, если предположить, что
(П.2.35) E (0, т) = 0, т < О,
т. е. падающее электрическое поле «выключено» до момента т = 0. Непосредственно проверяется, что как А, так и E обращаются в нуль при всех X > 0, т < 0. Это позволяет наложить граничное условие при т = —оо взамен т = 0. Удобно исключить А из (П.2.30):
X
А(х, т, оо) = — J E (лг, т) ехр {2m (Т — т)} dT, (П.2.36) ° г
(A) = J Agda= - J Е(х, Т) J g(a)exp{2ia(T-x)}dadT.
О —оо
Изменение порядка интегрирования для конечного т и ограниченного E объясняется тем, что g є Li. Определим
(П.2.37) G(Zii)=^g (a) e~2iam da.
что является преобразованием Фурье функции g. Следовательно, (П.2.30) сводится к
і
(П.2.38) Ex (х, т) = - ^jE (х, Г) G (т - T) dT, х > 0, т > О,
о
Поучительно исследовать следующий тип неоднородного уши-рения:
(П.2.39) = а > 0.П. 2. Неадекватность метода Фурье .433
В пределе а->0 g принимает вид дельта-функции, и можно говорить, что уширения нет. Для произвольного а (П.2.38) принимает вид
(П.2.40) Exx=-E-IaEx, х > 0, т > 0.
Это уравнение имеет дисперсионное соотношение
s>k = — 1 — Tiak,
или
(П.2.41) / ' 2ia
со2 + (2а)2 ~ W2 + (2а)2 '
Таким образом, (П.2.30) не имеет дисперсионного соотношения, но оно возникает, если мы исключим Л и перейдем к уравнению (П.2.40)! Величина Im(A) >0 для любого а > 0; таким образом, (П.2.40) устойчиво; каждая фурье-мода убывает (по х) к нулю экспоненциально. В пределе а-*- 0 (П.2.40) принимает вид уравнения Клейна — Гордона (П.1.26) без затухания. Даже для а > 0 (П.2.40) является по-прежнему гиперболическим, и разрывы будут распространяться вдоль характеристик. Затухание слишком мало для того, чтобы сгладить разрывы.
Точным решением (П.2.40) является
(П.2.42) E(X1T) = Ie-2axjOi-2^ при т > 0, * > 0, I 9 при т < О, л; > О,
где Jo(r)—функция Бесселя нулевого порядка. Это решение скачком вырастает до ?(0, т) в момент времени т = 0 и затем медленно убывает по экспоненте. Разрыв в точке распространяется по всей оси т = 0. Во всех других направлениях решение убывает при X —> оо или при т->0. Индуцированная поляризация Л ведет себя намного сложнее. Из (П.2.36) следует, что при любом фиксированном х, Л возникает в результате совокупного воздействия Е. Возникнув однажды, поляризация остается ненулевой при т->оо, даже если поле исчезло. Таким образом, при т->- оо E стремится к нулю, а Л не имеет предельного значения. Совершенно различное поведение различных компонент решения является общей чертой задач, не имеющих дисперсионного соотношения.