Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.14. Линеаризованное дисперсионное соотношение для двухслойной системы (4.1.25). Рисунок соответствует случаю h2 = оо. Показаны две резонансные триады, одна из них включает две поверхностные волны, другая две внутренние волны.
Далее, необходимо показать, что коэффициенты взаимодействия в (4.2.2) не обращаются в нуль. Соответствующие вычисления можно выполнить несколькими способами, одним из которых является обычное применение метода нескольких временных масштабов (см., например, [483], [248]). Для того чтобы избежать утомительных алгебраических вычислений, с которыми связан этот подход, Симоне [462] изобрел вариационный метод, более эффективный в вычислительном плане. С другими методами можно ознакомиться в работах, на которые ссылается Фил-липс [421]. Обычно эти построения включают однородные волновые цуги, так что эволюционные уравнения соответствуют (2.2.2'), а не (4.2.2). Учет пространственной и временной модуляции, однако, несложен. Важным моментом в нашем обсуждении является то, что коэффициенты резонансных триад в двухслойной модели не равны нулю тождественно.
Каково значение этих триад? Для простоты рассмотрим сначала случай пространственно однородного цуга волн. Изменив порядок нумерации мод линеаризованных волн, можно переписать кинематическое условие (4.2.1) в виде
1 |0 ' Th
г
г
(4.2.21)
k1 + k2 = k3, Co1 + (O2 = со3, 352
4. Приложение
где со, > 0. Для консервативных систем, не зависящих от пространственных переменных, Хассельман [204] заметил возможность следующего представления условия (4.2.2а):
(4.2.22) д%а{ = іа'2а\, дха2 = іа3а*, д%а3 = — ia'a^,
т. е. отрицательному коэффициенту взаимодействия в (4.2.22) соответствует наибольшая частота в (4.2.21). Это соответствие не зависит от вида коэффициентов взаимодействия, достаточно только, что бы они не обращались в нуль. Рассмотрим однородный цуг волн частоты cos с безразмерной амплитудой а3 (порядка единицы). Если а\ и а2 вначале бесконечно малы, то на начальной стадии, как это следует из (4.2.22), аз постоянно, и
(4.2.23) d\at ~|а3|Ч> »=1.2.
Таким образом, бесконечно малые моды экспоненциально нарастают за счет аз, т. е. аз является нелинейно неустойчивой модой по отношению к малым возмущениям в триаде, определяемой (4.2.21). (Следует иметь в виду, что эта неустойчивость кратковременна, общее решение (4.2.22) является периодическим.)
Если резонансные триады, связанные с двухслойной моделью, пронумерованы в соответствии с (4.2.21), где со > 0, то со3 обязательно относится к поверхностной волне (см. рис. 4.14). Ввиду того что коэффициенты взаимодействия не обращаются в нуль, из теоремы Хассельмана следует, что поверхностные волны в двухжидкостной сисґеме неустойчивы. Начальная скорость развития неустойчивости пропорциональна амплитуде |а3| из (4.2.23). Заметим, что в данном случае скорость развития неустойчивости выше, чем неустойчивость Бенджамина — Фейера, которая пропорциональна |а3|2 (см. разд. 4.3).
Как обстоит дело с экспериментальным подтверждением такой неустойчивости? Льюис, Лейк и Koy [326] изучали (4.2.22) с точки зрения устойчивости и рассматривал только начальную стадию возникновения внутренних мод за счет возбуждения двух поверхностных волн. Предсказанные наблюдения оказались в сравнительно хорошем соответствии с решениями (4.2.22) на начальной стадии, но эксперимент прекращался раньше, чем мог проявиться периодический характер решения.
Возбуждением двумя поверхностными волнами внутреннего волнового движения занимался также Джойс [248]. В его экспериментах вязкие потери были сравнимы с нелинейным ростом, поэтому в уравнения (4.2.22) были добавлены слагаемые, учитывающие потери по линейному приближению. Одной из его основных задач являлось наблюдение переходного процесса установления стационарного состояния, в котором подпитка поверх- 4.2. Трехволновые взаимодействия
353
ностных волн происходит с тон же скоростью, что и диссипация всех трех волн. Ясно, что периодические решения (4.2.22) в этом эксперименте не возникали.
В тех случаях, когда в уравнения (4.2.22) включены линейные вязкостные слагаемые, как отметил Мак-Эван [364], существует минимальная амплитуда аз, ниже которой неустойчивость исчезает. Он также экспериментально продемонстрировал эту амплитудную отсечку (см. также [365]).
Отметим, что во всех перечисленных экспериментах изучались модуляции однородных волновых шлейфов по времени или пространству, что соответствует (4.2.2'), а не (4.2.2). Заметим также, что в экспериментах не наблюдались точные периодические решения (4.2.2'); причиной тому служит или сильная диссипация, которая не учитывается в (4.2.2'), или малая продолжительность эксперимента.
Рассмотрим резонансные триады волновых пакетов, промоду-лированных как по времени, так и по пространству, что соответствует уравнениям (4.2.2). Не вызывает сомнений, что в случае океанских волн эта модель более предпочтительна. Ввиду того что кинематическое условие (2.2.21) не зависит от групповых скоростей волн, три волновых пакета резонансных волн (конечных размеров) могут пространственно разделиться, что и происходит на самом деле (см. разд. 2.1). Таким образом, из всех резонансных триад, допускаемых линеаризованным дисперсионным соотношением (4.1.25), особое внимание следует уделять тем триадам, в которых близки групповые скорости, что приводит к увеличению времени их эффективного взаимодействия.
