Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
что OA -f- ОС = OB, так что волны, соответствующие (Л, —В, С), также удовлетворяют (4.2.1).
Триады, найденные таким путем, являются одномерными (kj, k2, k3—коллинеарны). В более общем случае, когда кь к2 и к3346
4. Приложение
компланарны, решения (4.2.12) лежат на поверхности, которая может быть получена вращением рис. 4.12 относительно оси со. Только что изложенный геометрический метод поиска резонансных триад до сих пор используется при решении задач более высокой размерности.
Если в обсуждаемой проблеме диэлектрический материал остается анизотропным в линейном приближении, то размерность дисперсионного соотношения будет обязательно выше. В этом случае тоже используется геометрический метод, хотя очевидно, что он может оказаться довольно сложным.
Далее, найдем слабонелинейные решения (4.2.5,9). Соответствующей мерой нелинейности, как это следует из (4.2.9), является
f dmPj)
I < J
Поле является слабо нелинейным, если є -С 1. Будем искать решение в виде
E (х, U е) = еЕ, (х, і, є) + E2E2 + О (е3), (4.2.15а) р (х> и є) = еР] + е2р2 + Q (е3)>
где
(4.2.15Ь)
Поясним сказанное.
(i) В лабораторных условиях, обеспечивающих точное управление входящими волнами, представление поля в виде дискретной суммы N волн является вполне оправданным. Однако если входящие волны содержат две волны резонансной триады, третья волна триады также должна содержаться в Eb Изначально она может иметь нулевую амплитуду.
(ii) В этой задаче временные и пространственные переменные меняются своими обычными ролями. Электрическое поле, определенное на границе материала во все моменты времени, эволюционирует в пространстве, проходя через среду. Возможные медленные модуляции входящего волнового пакета определяются зависимостью Km от т.
(ІІІ) Термин «медленные» модуляции нужно понимать следующим образом. Период волны, испускаемой рубиновым лазером, примерно равен 2 X Ю-15 с. Для того чтобы достичь большей интенсивности поля, лазерный импульс (модулируя доброт-
Ei = X {Ат (у, т) ехр (івт) + ехр (— i'0m)},
т=1
T = et, у = ЄХ, 0m = km • X — COm/.4.2. Трехволновые взаимодействия 347
ность) делают столь коротким во времени, что он может измеряться пикосекундами (т. е. Ю-12 с). Такие короткие импульсы содержат порядка тысячи осцилляций поля и могут рассматриваться как медленная модуляция!
В низшем порядке разложения (4.2.15) мы просто получаем решение линейной задачи
Ejv Й2С~ 2
-5-Г exP + exP Й»)Ь
coa — wm
т= 1 0 т
где (km, COm) связаны соотношением (4.2.12).
Предположим, что это линеаризованное решение имеет единственную резонансную триаду, в которой (к, со) удовлетворяют (4.2.1), а вектор поля имеет постоянную ориентацию, определяемую dijk. Например, в случае кристалла кварца (dm ф 0)
Am = \ат (у, т), т= 1, 2, 3,
где v — постоянный единичный вектор, а все ат — скаляры. Такое решение в низшем порядке порождает сингулярные члены следующего порядка, если отсутствует трехволновое резонансное взаимодействие на больших масштабах пространственных координат, определяемое уравнениями
дхау + (C1 • у„) a, = iy^, д%а2 + (с2 • уу)а2 = іу2а\а\,
(4.2.16a)
0A+(V Vy) а3 = XY3O^,
где
л- Z
3
да
щ
/=O 1
к-к, дУі
(4.2.16b) счт(йі
Y і:
[1 +со2й2/(со2-со2)2]П К "О
m=l
Ввиду того что dijk ^ 0, а (сої, сог, соз) не могут иметь один и тот же знак (этот факт следует из (4.2.1)), то Yi, У 2, Уъ также имеют разные знаки.
Таким образом, мы имеем дело с распадной неустойчивостью, обсуждавшейся в разд. 2.1.
Генерация второй гармоники является особым случаем резонансной триады, в котором соз = «ь ®2 = —2(oi. Более того, мы можем отождествить а3 с а\ и преобразовать уравнения к виду
(4217) d^l+ [C1-Vу) ^ = IaX,
(VV,) V--2/W)\348
4. Приложение
Следовательно, вторая гармоника а2, даже если она первоначально отсутствовала, будет возбуждаться основной гармоникой ai. В нелинейной оптике этот частный случай широко представлен в эксперименте. В формулировке метода обратной задачи он оказывается сингулярным пределом (см. [263]).
Ограничимся исследованием стационарной одномерной задачи, когда все три волны распространяются вдоль одной оси, т. е. (ki, k2, k3) параллельны и (Аь A2, A3) ориентированы в соответствии с duk. Обозначим основную пространственную координату буквой у. Тогда (4.2.16) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
(4.2.18) а{ = fya'a'/c,, a2 = iy2a3a\jc2, a3 = iy.?\a*2m/c3. где a = ду (а).
Два интеграла этих уравнений, иногда называемые соотношениями Менли — Роу, имеют следующий вид:
(4.2.19) - = const, -?li?d!--?іІ?з_1І = const.
v ' Yi \2 Vi Ya
Отсюда следует закон сохранения энергии
А а/12
(4.2.20) a, =const-
/= і '
Здесь мы воспользовались формулами (4.2.16b), (4.2.12) и (4.2.1). Таким образом, полная энергия входящих волн распределяется по трем взаимодействующим волнам. Эти соотношения имеют также квантовомеханическую интерпретацию, обсуждавшуюся Ахмановым и Хохловым (1972) [38]. Как отмечал Болл [47], полное решение системы (4.2.18) можно выразить через эллиптические функции.