Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
и обобщим (4.3.6) так, что -ф = -ф (у, т; %). Следовательно, с точностью до 0(е2) (4.3.7) должно быть заменено на
где Ci — одномерная линеаризованная групповая скорость. Это значит, что импульс распространяется, не меняя форму, с линеаризованной групповой скоростью несущей волны. В следующем порядке (4.3.8) принимает вид
(4.3.13) 2Ikdx^ + ад2я|> + V21^ + {2<о2п2с~2 sign (л2)} | ф |2 t|> = O1
где а = —k(d2k)/(da>2) й г) = т — У\/с\. Здесь эволюция осуществляется в размерности (3+ 1), но качественно совпадает со случаем размерности (2+ 1). Уравнения (4.3.13) не обладают свойством Пенлеве и, по-видимому, не могут быть решены при помощи МОЗР. Существование самофокусирующейся сингулярности для а >¦ 0 доказали Захаров и Сынах (1976) [549], а также Глэсси (1977) [187]. В этом случае природа сингулярности, по-видимому, является не столь тонкой, и Захаров и Сынах (1976) [549] установили, что для х~+Х
(4.3.11)
x — et
(4.3.12)
(дх + Cidyl) 1|> = 0,
(4.3.14)
4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
361
4.3. Ь. Волны на воде. Нелинейное уравнение Шрёдингера моделирует эволюцию одномерного пакета волн на поверхности достаточно глубокой воды. Различные способы вывода уравнения в этом случае дали Захаров (1968) [524], Бенни и Роскес (1969) [59], Хасимото и Оно (1972) [201], Дэви и Стюардсон (1974) [131], Юэн и Лейк (1975) [517], Фриман и Дэви (1975) [168], Джорджевик и Редекопп (1977) [138], см. также [28], [518]. Существуют два принципиальных различия между проблемой волн на воде и задачами нелинейной оптики, которые мы обсудим. Во-первых, в случае конечной глубины осцилляторные волны возбуждают среднее течение, которое является нелокальным эффектом. (Нелокальные эффекты могут появляться также и в нелинейной оптике, но в предыдущем обсуждении мы их не рассматривали.) Во-вторых, существует различие в интерпретации уравнения и соответствующих граничных условий. Имеется несколько контекстов, в которых возникало уравнение (4.3.1) или его обобщения для размерности (2 + 1).
(і) Монохроматические волны можно генерировать пластинкой, осциллирующей на одном из концов длинного бассейна. Эволюция этих волн очень похожа на эволюцию электромагнитных волн, обсуждавшихся выше.
(И) Локальный шторм на море возбуждает широкий спектр волн, которые разбегаются по горизонтали во всех направлениях. Если бегущие волны имеют малые амплитуды и не взаимодействуют с ветром, выйдя из зоны шторма, то в силу своей дисперсионной природы они в итоге преобразуются в квазиодномерные пакеты квазимонохроматических волн. Если масштабы выбраны правильно, то уравнение, обобщающее (4.3.1) на случай размерности (2+ 1), описывает эволюцию каждого из этих пакетов в течение длительного времени. Если пакет существенно локализован, то естественно потребовать, чтобы волны исчезали на больших расстояниях от центра пакета.
(iii) Квазимонохроматические и квазиодномерные волны могут покрывать обширные области поверхности моря в результате действия длительного, устойчивого ветра. То же самое уравнение, обобщающее (4.3.1) на случай размерности (2+ 1), может описывать эволюцию этих волн после прекращения ветра. В этом случае естественно наложить периодические граничные условия в горизонтальных направлениях (см., однако, упр. 5).
В любом случае нас интересует решение (4.1.5) — (4.1.7), имеющее вид совокупности квазимонохроматических, квазиодномерных волновых цугов малой амплитуды. Эти цуги движутся в направлении х с соответствующим (средним) волновым числом и == (k, /). Пусть а обозначает характерную амплитуду возмущения и §к — характерную вариацию k. Нелинейное уравне- 362 4. Приложение
ниє Шрёдингера для размерности (2+1) является следствием следующих предположений (и2 = k2 + I2): (і) малость амплитуды
(4.3.15а) є = иа< 1;
(ІІ) медленное изменение модуляций (4.3.15Ь)
(iii) квазиодномерность волн (4.3.15с) -Ш < 1;
(iv) баланс всех трех эффектов (4.3.16d) IT = 0(e), (4.3.15е) j^- = O(E).
Безразмерная глубина kh может быть конечной или бесконечной, но для того, чтобы исключить предельный случай мелкой воды (и КдФ), необходимо потребовать
(4.3.16) (kh)2 >є.
В этом предельном случае решением линейной задачи в низшем порядке является
(4.3.17а) ф ~ є (chkciZMh)) [А ехр (ІЄ) + (*)] + const),
где (*) обозначает комплексное сопряжение, (4.3.17b) Q = kx — ®(k)t,
и со(&) определяется формулой (4.1.8). Для того чтобы учесть более высокий порядок, введем в рассмотрение медленные (пространственные) переменные (снова используем метод нескольких масштабов)
(4.3.18) X1 = BX, у\ = ву, I1 = zl, L = вЧ и разложим ф и ^ в ряд
ф~в{ф(*!, У у, I1, I2) + Ch th^I k) И (Xl, Уі/tu t2) X
(4.3.19) X ехр (г'Э) + (*)] j + О (е2), S = є Цп ехр (Ю) + 0} + О (е2), ?„ = 4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения 363
Разложение должно быть произведено до членов порядка О (є3). Переменные, введенные в A, отражают то обстоятельство, что рассматриваются волновые пакеты, а не однородные наборы волн, причем Ф описывает возбуждаемое пакетом среднее течение. Далее будут обсуждаться секулярные эффекты, воздействие которых на Ф и A проявляется в членах более высокого порядка. Детали обсуждения можно найти в работах Бенни и Роскеса [59], Дэви и Стюартсона [131] или Джорджевика и Редекоппа [138].
