Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Существуе семейство триад, удовлетворяющих (4.1.25), в которых k\ представляет длинные внутренние волны, а k2, — короткие поверхностные волны, причем k\ == &3 — k2 <С kz-
Из (4.2.21) следует, что
(4-2-24) IS? = t"
Для достаточно малых — k2 левая часть (4.2.24) является групповой скоростью поверхностной волны kz (:? k2), а правая часть — фазовой скоростью внутренней волны. Но поскольку внутренняя волна длинная, то эта фазовая скорость равна групповой. Таким образом, длинные внутренние и короткие поверхностные волны распространяются совместно. В некоторых случаях этот факт известен как взаимодействие длинных и коротких волн ([176], [421], [57], [432], [340]).
Наконец отметим, что нами не рассматривались волновые процессы, происходящие на фоне неоднородного по вертикали (сдвигового) течения. Керне (1979) [84] и Крейк и Адам (1979) [126] показали, что если равновесной конфигурации соответ-
12 Зак. 114 354
4. Приложение
ствует устойчивая стратификация (т. е. существует горизонтальная скорость U(г), где IJ'(z) =0), то все коэффициенты взаимодействия могут иметь один и тот же знак. В этом случае имеет место «взрывная неустойчивость», первоначально известная только для плазмы (см. [132], [468]). Она состоит в том, что три резонансные волны поглощают энергию из фонового течения, формируя сингулярность за конечное время (в данном приближении).
4.2. с. Резонансные квартеты. Мы видели, кто в пределе малой амплитуды резонансные триады зачастую адекватны первой нелинейной поправке линейной теории. Основные уравнения (4.2.2) или (4.2.2') являются условиями подавления секулярных членов О (г2). Если в этом порядке нет растущих секулярных членов, то первая нетривиальная нелинейная поправка возникает для О (є3). В нелинейной оптике это имеет место, когда диэлектрик является изотропным или кристаллом с центром симметрии. Для внутренних и поверхностных волн такая ситуация возникает при рассмотрении взаимодействий только между различными волнами одной и той же вертикальной моды. В частном случае поверхностных волн в однородной жидкости резонансных триад нет [420].
Резонансные квартеты, если соответствующие коэффициенты взаимодействия не обращаются в нуль, возникают в следующем порядке. Резонансное условие, соответствующее (4.2.1), имеет вид
(4.2.25) k1 + k2 + k3 + k4 = 0, 0)( + 02 + 0)3 + (04 = 0,
где о),• = to (к,) определяется из линеаризованного дисперсионного соотношения. Ввиду того ЧТО МЫ предположили 0)(к) = = —о)(—к), (4.2.25) имеет решения вида
(4.2.26) к; = — к2, к3 = — к4.
Таким образом, дисперсионное соотношение всегда допускает существование резонансных квартетов. (Это остается в силе, даже если со(k) + со(—к) Ф 0.)
Для резонансных триад соответствующими медленными переменными являлись (ex, et). Так как резонансные квартеты возникают в следующем порядке, их медленными переменными являются (е2х, е2^); нелинейная связь является более слабой и эволюция более медленной. Определяющие уравнения имеют вид
4
д,а,п + К ' V) ат = і I $ а а а* + і Z Ут<,г?,аХ>
P= 1 q, г, зфт
(4.2.27) 4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
355
где т = 1, 2, 3, 4 и Cm — линеаризованная групповая скорость, соответствующая вектору km (см., например, Бенни и Ньюэлл [58]). Бенни и Ньюэлл также отметили, что если (4.2.26) является единственным решением (4.2.25), то последняя сумма в
(4.2.27) обращается в нуль, и решение упрощенных уравнений может быть представлено в компактном виде:
ат (х, T)=/m (X-CmT) exp і •! ^ Yj ?mp I fP (х—cmT+(cm—Cp) T) fdT>,
^O p )
(4.2.28)
где flm(x, 0)=fm(x)—начальные комплексные амплитуды. Другие общие результаты, касающиеся системы (4.2.27), нам не известны. В частности, вопрос о полной интегрируемости (4.2.27) остается открытым.
Совершенно иная картина наблюдается в теории четырехвол-нового взаимодействия, развитой Хассельманом [202, 203] для поверхностных волн; см. также [205], [504] и [507]. При выводе уравнения (4.2.27) предполагалось, что эффекты нелинейности преобладают над эффектами случайности, а в модели Хассель-мана и др. предполагается обратное. Результатом является уравнение переноса типа уравнения Больдмана, а не (4.2.27). По-видимому, решения этих двух моделей не совпадают, поскольку их исходные предположения различны. Необходимо тщательное изучение области применимости каждой модели. По нашим сведениям, это еще не сделано.
4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения.
В разд. 4.2 мы видели, что в зависимости от специфики задачи один и тот же метод построения уравнений может привести к взаимодействию либо трех, либо четырех (может быть, и больше) волн. Нелинейное уравнение Шрёдингера (кубическое)
(4.3.1) гф, + ^ + 2аЖ2г|> = 0, <х = ± 1
возникает как результат применения подобного метода к линейной системе с дисперсией, но соответствует другой совокупности взаимно компенсирующих слагаемых. Мы можем уточнить это утверждение.
Предположим, что некоторая физическая величина представляет собой суперпозицию N плоских волн с комплексными скалярными амплитудами а«, і = 1, 2, . . ., N. Как показано в разд. 4.2, уравнения для скалярных триад или квартетов возникают в том случае, если N огибающих медленно меняются во времени и пространстве так, чтобы (d* + с,--V)a,- по порядку величины совпадало с нелинейными членами. Здесь с* — групповая скорость і-й волны. В тех случаях, когда нелинейные члены
