Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
12* 356
4. Приложение
много меньше, т. е. (dt 4- с,- - У) йі « О, возникает другая ситуация. В этом случае каждый волновой пакет на данной временной шкале, не взаимодействуя, движется со своей собственной групповой скоростью. Если групповые скорости не совпадают и если все волновые пакеты локализованы, то они разделяются в пространстве. Поэтому нелинейности, возникающие в следующем временном масштабе, приводят к взаимодействию каждого волнового пакета только с самим собой. Для размерности 1 + 1 в этом масштабе определяющим уравнением часто служит (4.3.1). При некоторых ограничениях этот вывод справедлив и в том случае, когда начальными условиями являются локальные возмущения, которые не могут быть выражены через N плоских волн.
В разд. 4.2 читатель мог заметить, что линеаризованная групповая скорость, допускающая одну резонансную триаду, как правило, допускает и несколько триад (например, см. рис. 4.12 и 4.14). Требуются дополнительные соображения, чтобы выбрать из них одну «доминирующую» триаду, основными уравнениями которой являются (4.2.2). При исследовании уравнения (4.3.1) таких проблем не возникает, если никакие две линейные групповые скорости не совпадают. В такой ситуации имеет место только автовзаимодействие, так как волновые пакеты разошлись на предыдущем временном масштабе. Однако поперечная неустойчивость, как мы увидели ниже, ограничивает физическую применимость (1 -f 1)-мерной модели (4.3.1).
4.3. а. Нелиейнная оптика. Рассмотрим изотропный диэлектрический материал, показатель преломления которого демонстрирует нелинейную поправку в электрическом поле умеренной напряженности:
(4.3.2) п (со, I E I) = -L ~ no N + "2 (®) I E |2.
Для определенности выберем По > 0. Ахманов, Хохлов и Сухорукое (1972) [39] обсуждали несколько механизмов возникновения такого нелинейного поправочного члена (см. также [515] и [254]):
(і) «Ориентационный» (или высокочастотный) эффект Kep-ра, отражающий тенденцию анизотропных молекул жидкости ориентироваться вдоль напряженности сильного электрического поля. Естественно, что среда в присутствии поля приобретает анизотропию. Этот эффект в ряде случаев дает основной вклад В П2.
(ІІ) «Электрострикция» относится к эффекту сжатия диэлектрического материала электрическим полем. Сжатие в свою очередь меняет показатель преломления. Этот эффект обычно преобладает в жидкостях с изотропными молекулами, в газах и H3Q-тропных твердых телах, 4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
357
(ІІІ) Если вещество поглощает какое-то количество света, то поглощенная энергия приводит к его разогреву и расширению. Ландауэр (1967) [316] показал, что при отсутствии поглощения п2 > 0. Будет показано, что неравенство п2 > 0 отвечает самофокусировке, а п2 < 0 — самодефокусировке света. Следовательно, самодефокусировка может иметь место только в среде, поглощающей свет. Каков бы ни был механизм, формула (4.3.2) предполагает, что отклик среды является квазилокальным и квазистатическим для каждой частоты. Ахманов, Хохлов и Сухорукое (1972) [39] отметили, что электрострикционный и тепловой эффекты обычно нелокальны, а последний к тому же часто является нестатическим. Далее будет рассмотрен простейший способ вывода уравнения (4.3.1), основанный на предположении о применимости (4.3.2). Однако, как мы увидим ниже, обсуждая волны на воде (разд. 4.3.Ь), в некоторых случаях возможен учет нелокальных эффектов.
Предположим, что стационарная плоская волна фиксированной частоты, распространяясь в направлении X1, падает на диэлектрик. Комплексная амплитуда поля может медленно меняться в пространстве, но не во времени (по предположению). В соответствии с (4.3.2) подходящей мерой нелинейности является
X, t nO
предполагаем, что е < 1. В соответствии с (4.3.2)
(4.3.3) C2P = (п2 - 1) E ~ Uo - 1 + 2пап21 E |2) Е, так что соотношение (4.2.5) принимает вид
(4.3.4) с~2д\ Ы + 2п0п21 E I2) Е} + V X V X E - 0.
Введем в рассмотрение медленные пространственные переменные
(4.3.5) Уі=гхь у2 — ех2, у3 = ех3, X = B2X1.
В главном порядке (0(e)) выражение для электрического поля принимает вид
(4.3.6) E = ее (г|) (у; Х) exp {ikx, - Ш} + (*)} + О (в2),
где е — единичный вектор, ортогональный к к, и со(й) определяется линейным дисперсионным соотношением (т. е. посредством п0(ш), (4.2.14)). Пренебрегая однородными членами следующего порядка, мы получаем
(4.3.7) -1^=0. 358
4. Приложение
Это значит, что на расстояниях порядка О (е-1) вдоль направления распространения модуляции волн нет.
Условие исключения секулярных членов, возникающих в порядке О (є2), имеет вид
(4.3.8) 2ikdx$ + V2i^ + {2о>2H2C-2 sign (/?)} | ф f ф = О,
где V^ = S1m + д2 — поперечный лапласиан. Уравнение (4.3.8) получил Келли (1965) [273] и независимо Таланов (1965) [473]. При рассмотрении стационарной задачи форма входящего луча задается функцией -ф (г/2, Уъ, X = O). Следовательно, (4.3.8) вместе с граничными условиями (г/г, Уз) определяет пространственную эволюцию луча при прохождении диэлектрика в направлении JCi.
