Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим гладкую двумерную поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть^г-(г= 1,2,3) обозначают ортогональные декартовы координаты в трехмерном пространстве, а иа (а = 1, 2) —координаты на поверхности. Три уравнения вида
у1 = у1(и\и*)
определяют поверхность. Пусть г (у1)—радиус-вектор точки Р, лежащей на поверхности. Если точку P переместить вдоль по- 372
4. Приложение
верхности на бесконечно малую величину, приращение радиуса-вектора определяется формулой
dr =-%dua du
(здесь и далее по повторяющемуся индексу производится суммирование).
Модуль приращения определяется первой фундаментальной квадратичной формой
(4.4.2) I = dr ¦ dr = ga? dua du*, где
_ <3r <5г
является ковариантным метрическим тензором поверхности. Аналогично пусть п — единичный вектор, нормальный к поверхности в точке Р. При бесконечно малом перемещении P п изменяется согласно формуле
dn = dua.
диа
Вторая фундаментальная квадратичная форма имеет вид
(4.4.3) II з — dn ¦ dr = /гар dua du
где Aa ? — тензор внешней кривизны. Любая гладкая кривая на поверхности, проходящая через точку Р, имеет в этой точке некоторый радиус кривизны (в евклидовом пространстве). Меняя направление, в котором кривая пересекает точку Р, можно найти максимальный (pi) и минимальный (р2) радиусы кривизны, соответствующие двум главным направлениям в точке Р, эти направления ортогональны друг к другу. Полная (гауссова) кривизна поверхности в точке P определяется формулой
(4.4.4) К =
Р1Р2
Поверхность имеет отрицательную полную кривизну (К <С 0), если главные радиусы находятся с противоположных сторон касательной плоскости в точке Р. Раструб духовой трубы, седло и тонкие ломтики жареного картофеля — все это примеры поверхностей с отрицательной кривизной.
Пусть A,1, X2 — единичный касательный вектор к кривой С, которая пересекает точку Р. С является асимптотической линией, если
(4.4.5) ha^a№ = 0 4.4. Уравнения типа sin-Гордон
373
вдоль С. Точку на поверхности пересекают две различные вещественные асимптотические линии тогда и только тогда, когда полная кривизна в этой точке отрицательна. Если вся поверхность целиком имеет отрицательную кривизну, мы можем использовать систему асимптотических линий в качестве внутренних координат на поверхности.
Рассмотрим поверхность постоянной отрицательной кривизны (К =—1/а2) с внутренними координатами, определенными при помощи асимптотических линий. При соответствующем выборе масштаба первая фундаментальная квадратичная форма может быть записана в виде
(4.4,6) I = a2 (du2 + 2 cos ф du dv -f dv2),
где ф — угол между асимптотическими линиями. В этих координатах уравнение Гаусса превращается в уравнение sin-Гордон
Уравнение Гаусса является условием совместности, которому должен удовлетворять произвольный тензор для того чтобы он мог быть тензором внешней кривизны поверхности. Таким образом, каждое решение этого уравнения определяет поверхность постоянной отрицательной кривизны (—1/а2) с первой фундаментальной формой, определяемой формулой (4.4.6). Такие поверхности называются псевдосферическими. Некоторые специальные случаи обсуждаются в работе Эйзенхарта (1909, § 116, 117) [148].
Это приложение мы приводим в качестве первого примера, когда уравнение, решаемое при помощи МОЗР, возникает' как точная модель. При выводе уравнения даже не предполагалось никаких асимптотических разложений. Отсюда следует вопрос, отличается ли фундаментальным образом уравнение sin-Гордон от других уравнений, к которым применим МОЗР? Ответ отрицателен. Сасаки [442,- 443] показал, что каждое уравнение вида (1.5.16) описывает поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Различные уравнения из этого класса просто соответствуют различным метрикам. То, что это геометрическое свойство ассоциируется скорее с уравнением sin-Гордон, чем с уравнением мКдФ, — это факт истории математики, а не самой математики.
Для того чтобы обобщить уравнения (4.4.1) на большую размерность, естественно задать вопрос, какие уравнения определяют псевдосферические поверхности размерности 3 или больше. Недавние исследования по этому вопросу опубликовали Черн и 374
4. Приложение
Тернг [107]. Вопрос об интегрируемости полученных ими обобщений уравнения sin-Гордон при помощи МОЗР остается открытым.
4.4.Ь. Самоиндуцированная прозрачность (СИП). В разд. 4.2 было установлено, что показатель преломления (т. е. линеаризованное дисперсионное соотношение) идеального диэлектрика сингулярен на частоте, совпадающей с любой из резонансных частот атомов вещества. Самоиндуцированная прозрачность является одним из эффектов, возникающих при взаимодействии диэлектрика с электрическим полем на частоте, близкой к резонансу.
Эффект был открыт Мак-Коллом и Ханом в 1965 г., см. [358, 359, 360, 361]. К настоящему времени по данному вопросу существует обширная библиография, мы выделим особо работы Мак-Колла и Хана (1969) [360], Лэма (1971) [309], Слашера и Гиб-бса (1972) [465], Куртена (1972) [125] и Kayna (1977) [261]. Каждая из них к моменту своего появления более или менее полно отражала состояние вопроса.
