Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь разрешимость (4.3.25) в различных предельных случаях. В случае глубокой воды (kh-*~ оо) среднее течение обращается в нуль, и (4.3.25) сводится к нелинейному уравнению Шрёдингера для размерности (2+1):
(4.3.27) iAx +IxAll+ [IxAm = xJ Af А,
где
_ f ' ~ 6Г - 3?2 ^ 8ш V 1 + T J'
^» = -?(1 + 3?),
= too 8 + т + 2Г2
~ 4о) (1 - 2Т) (1 + Т) '
Соответствующие граничные условия для локализованных начальных данных имеют вид А -*- 0 при ?2 + г)2-»-оо.
Как указано выше, это уравнение не обладает свойством Пенлеве и, по-видимому, не может быть решено при помощи МОЗР. Более того, в случае периодических условий нет надежды на наблюдение возвращаемости в течение сколь угодно большого промежутка времени. В работах йена и Фергюсона (1978) [516] сообщалось о почти возвращаемости численного решения (4.3.27) за сравнительно короткое время. Интегрирование на больших 4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
367
временных масштабах, по-видимому, должно показать, что воз-вращаемость приближенно реализуется лишь в течение короткого времени. Последующая работа Мартина и Йена (1980) [353], похоже, согласуется с этим предположением.
В области f рис. 4.15 (т. е. в случае достаточно сильного поверхностного натяжения для достаточно глубокой воды) уравнение (4.3.27) имеет решения, которые фокусируются за конечное время, так же как это было в случае (4.3.8). Предельный случай бесконечно глубокой воды не исключает возможности фокусировки, которая может иметь место и в решениях (4.3.25) для области f. В отличие от оптики этот эффект пока не наблюдался для волн на воде. Подробности можно найти в работе Абловица и Сигура [28].
В пределе мелкой воды, т. е. когда kh-*- 0, но є <С (kh)2, ситуация совсем другая. В этом пределе после масштабных преобразований мы получим уравнения
іА* ~ °Ахх + Луу = 0' А |2 А + АФх'
(4.0.ZO) оФхх + Фуу = -2<\ Aftxt
где a = sign (у — T) . К этому уравнению применим МОЗР, и
точные Af-солитонные решения были получены в работах [7] и [42]. Решения типа лампов были найдены в [447]. Таким образом, очевидно, что решения (4.3.25) ведут себя хорошо в пределе мелкой воды и имеют плохое поведение, если глубина достаточно велика.
В заключение рассмотрим уравнения (4.3.25) в случае размерности (1 + 1). Как отмечено в [28] и [236], возможны различные способы понижения порядка в зависимости от того, в каком направлении допустима модуляция огибающей. Однако экспериментально модуляция волн наблюдалась только в направлении их распространения, и поэтому мы рассмотрим только этот случай. Если в уравнениях (4.3.25) дп = 0, то второе уравнение может быть один раз проинтегрировано, и (4.3.25а) принимает вид
(4.3.29) iAx + %Al% = v\A?A,
где "К, V определены формулами (4.3.26). Начальные данные в эксперименте можно сформировать, модулируя (во времени) амплитуду осциллирующей пластинки на одном из концов одномерного бассейна. Если Kv > 0, что соответствует областям А, В и ? на рис. 4.15, то солитонов нет. Произвольные начальные данные, гладкие и обращающиеся в нуль при ||| -»- оо, порождают излучение, которое убывает как т~1/2 (см. разд. 1.7) . 368
4. Приложение
Солитоны огибающих возможны в областях С, D и F, где Kv < 0. Односолитонным решением (4.3.29) является функция
(4.3.30) A = a sech {а (| - 26т)} ехр № + ІК (а2 - Ь2) т}.
(Напомним, что возвышение свободной поверхности, см. (4.3.19), пропорционально [А ехр(t'0) — (*)].) На рис. 4.16 изображены
результаты экспериментальных измерений таких волн в двух точках бассейна, расположенных ниже по направлению движения волн.
На рисунке мы совместили солитонное решение уравнения (4.3.29) с соответствующим пиком амплитуды в каждой точке. Заметим, что амплитуда волн во втором измерении уменьшилась, что свидетельствует о наличии эффектов, обусловленных вязкостью. И все-таки ввиду того, что характерный временной масштаб, на котором влияние вязкости становится заметным, больше характерного времени эффектов, описываемых уравнением (4.3.29), то волна сохраняет свою форму, чтобы локально выглядеть как солитон.
Напомним, что в разд. 1.1 солитоны были определены через их свойство сохранять форму независимо от взаимодействия. Йен и Лейк [517] показали интересную экспериментальную демонстрацию этого свойства, запечатленную на рис. 4.17. В первом столбце изображена картина распространения солитона огибающей без изменения формы на расстояние 9,15 м. Второй столбец изображает другую волну с несколько
1/2
Передний ' фронт
0.12
Рис. 4.16. Смещение поверхности воды, показывающее эволюцию огибающей в двух от метках вдоль потока. Здесь h = 1 м, kh = 4,0, со — 1 Гц, T = 1 • Ю-4, сплошной линией показано смещение поверхности в эксперименте, штриховой — теоретическая форма огибающей; kZ, — ka sech (г), г = = [ag/co] (v/8?,) '/г (Cst — х).
(а) 6 м от волнопродуктора, ka = 0,132:
(б) 30 м от волнопродуктора, ka — 0,116. (Абловиц и Сигур [28].) 4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
