Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(4.2.3) Pi = XiiEl,
где Xi/-(линейная) восприимчивость среды. Для изотропных сред %ij сводится к скаляру. Простейшим обобщением (4.2.3) служит случай, когда поле представляет собой плоскую волну с частотой м и %ij зависит от со.
До изобретения лазера этой модели было достаточно для большинства задач оптики. Однако лазеры оказались способными создавать поля столь высокой интенсивности, что стал не-4.2. Трехволновые взаимодействия
343
обходимым учет нелинейных эффектов в восприимчивости. Под «нелинейной оптикой» обычно понимается класс явлений, обусловленных нелинейными поправками к восприимчивости диэлектрических материалов. Исследования таких эффектов ведутся во многих наиболее интенсивно развивающихся разделах прикладной физики, поэтому наше изложение будет заведомо неполным. Последующее обсуждение будет основано на работах Ахманова и Хохлова (1972) [38], Уизема (1974) [50] и Ярива (1975) [51]; см. также [277].
Рассмотрим идеальный немагнитный и однородный диэлектрик. Уравнения Максвелла (в системе МКС) имеют вид
(4.2.4а) vXH=d,D, v X Е = -<5,В,
(4.2.4в) V.D = 0, V-B = O,
где
(4.2.4с) D (E) = -Л- E + Р, B = р0Н,
с — скорость света в вакууме. Их можно преобразовать к виду
(4.2.5) 1O?E + ^P + vXVXE = 0.
Смещение электрона Z в среде без диссипации можно описать при помощи неоднородного уравнения ангармонического осциллятора:
(4.2.С) mZH + VzC/ (Z) = IqE,
где т — эффективная масса осциллятора, U — его потенциальная энергия, вектор 1(0 направлен вдоль электрического дипольного момента, q — заряд электрона, E — локальная напряженность поля. В простейшем случае все молекулы одинаковы, поэтому
(4.2.7) P = NqZ,
где N — число осцилляторов в единице объема. В конце концов получаем, что P удовлетворяет уравнению
(4.2.8) а?Р + VpF (P) = E = Е,
где V учитывает как суммирование по всем индивидуальным потенциальным энергиям, так и разницу между локальным и макроскопическим полями. Уравнения (4.2.5) и (4.2.8), после того как V задано, вместе с граничными и начальными условиями определяют поле. Заметим, что и нелинейность, и анизотропия среды учтены в V(P).344
4. Приложение
Многие недиссипирующие диэлектрические материалы в приближении слабых полей являются изотропными, и для них формулу (4.2.8) можно приближенно записать в виде
(4.2.9) d2tPi + M02Pi + dijkP,Pk і = 1, 2, 3.
По соображениям симметрии d,/* = d,kj. В работе Ярива (1975) [517] приводится таблица значений dijk для некоторых кристаллов. Для кристалла кварца dm Ф 0, и все три взаимодействующих вектора поляризации параллельны. Для дигидро-фосфата аммония (АДФ) и для дигидрофосфата калия (КДФ) dijk = 0, если не все индексы различны. (Эти два кристалла в линейном приближении также являются анизотропными.)
Если вещество изотропно или является кристаллом с центром симметрии, ТО dijk = 0, и нелинейный эффект будет, обусловлен приближением следующего порядка:
(4.2.10) d2tPi + alpt + ciiklPiPkPl-Ei, /=1, 2, 3.
В случае таких материалов резонансные триады отсутствуют, и существенными становятся резонансные квартеты.
В линейном пределе решение уравнений (4.2.5—9) может быть представлено в виде плоско-поперечных волн:
(4.2.11) E = E0eie, Р = Р0е'е, 8 = к -х-Ш.
Здесь к-E0 = O. Эта подстановка приводит к линеаризованному дисперсионному соотношению
(4.2.12) c2k2 = ш2--^t,
CiT — CDg
которое приведено на рис. 4.12. В тех случаях, когда рассматривается начальная задача, мы используем дисперсионное соотношение в виде w (k). В оптических экспериментах более естественно рассматривать к (со), т. е. © дано и к определяется исследователем. Более того, в оптике общепринято вводить показатель преломления
(4.2.13) n = k^-
и выражать дисперсионное соотношение в виде (п2 = п-п)
Q2
(4.2.14) п2 = I —
Очевидно, что эта линейная бездиссипативная модель несостоятельна для со, близких к coo, когда частота действующего поля почти совпадает с частотой осцилляций атомов средн.4.2. Трехволновые взаимодействия 346
В разд. 4.4 мы рассмотрим этот резонансный случай более детально. Здесь будет рассматриваться только нерезонансный случай.
Теперь с помощью рис 4.12 мы проиллюстрируем метод нахождения резонансных триад, допускаемых линеаризованным дисперсионным соотношением, подобным (4.2.12). Эта процедура была переоткрыта несколько раз (см., например, Займан (1960) [550], Болл (1964) [47]). Сначала выберем произвольную точку А на одной из ветвей дисперсионной кривой. Затем воспроизведем все ветви дисперсионного соотношения, сместиз начало координат из О в Л. На рис. 4.12 они изображены штриховыми линиями. Каждое пересечение штриховой и сплошной линий (например, точка В) представляет вторую волну, которая вместе с А может включаться в резонансную триаду. Из В
проведем вектор, параллельный и равный АО. По построению, этот вектор упирается в дисперсионную кривую в точке С. Следовательно, все точки А, В и С лежат на дисперсионной кривой и поэтому представляют решения (4.2.12). Более того, очевидно,