Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что (4.3.8) не зависит от е, так же как (4.3.7) и (4.2.14). Поэтому указанные уравнения не вырождаются в пределе е ->- 0. Это свойство желательно, поскольку указанные уравнения были получены как часть асимптотического разложения по степеням 8.
Обсудим две экспериментальные ситуации. В менее традиционной входящий луч промодулирован только в одном поперечном направлении.
Пусть
В этом случае уравнение (4.3.8) описывает эволюцию в размерности (1 + 1). Оно может быть приведено к виду (4.3.1), позволяющему применить результаты метода обратной задачи (см. гл. 1). В частности, если ф быстро стремится к нулю при I г/21 оо и если яг > 0, то входящий луч, имеющий достаточную напряженность, будет «самофокусироваться» в N солитонов плюс остаточное излучение (связанное с непрерывным спектром). В данном контексте солитоны имеют вид прямых линий (в плоскости (г/г, %))> вдоль которых интенсивность луча при х-*"00 становится постоянной. Эти солитоны иногда называются волноводами, и параметр, в обычной ситуации определяющий скорость солитона, задает ориентацию волновода в окружающей среде. Этот эффект иногда именуется автолокализацией для того, чтобы отличать его от более сильной самофокусировки, возникающей в случае размерности (2 + 1).
Термин «автолокализованный волновод» в диэлектрике является более предпочтительным, так как луч не подвержен влиянию дисперсии (или дифракции, что было оговорено выше). К сожалению, как отмечалось в разд. 3.8, (1 + 1)-мерные волноводы неустойчивы по отношению к длинным поперечным возмущениям (т, е, в направлении г/з). Возможно, что недостаток 4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
359
ность экспериментальной информации об автоволноводах обусловлена их неустойчивостью. В этой связи уместно заметить, что соответствующие солитоны огибающих в волнах на воде также неустойчивы по отношению к длинноволновым возмущениям. Тем не менее в эксперименте они получены без особых трудностей: одна из волновых картин приведена на рис. 4.16. Хитрость заключалась в использовании узкого бассейна, поэтому неустойчивые поперечные моды исключались геометрией экспериментальной установки. В принципе аналогичный подход может быть использован для получения устойчивых автоволноводов в диэлектрике. ОдНако, насколько нам известно, экспериментальная работа в этом направлении не ведется.
Перейдем к рассмотрению более естественной постановки задачи для уравнения (4.3.8), в которой входящий луч имеет сечение, близкое к круговому. Фундаментальным является вопрос: "можно ли решить уравнение (4.3.8) при помощи МОЗР в случае размерности (2+ 1)? По-видимому, ответ отрицателен: по крайней мере уравнение (4.3.8) не обладает свойством Пенлеве (см. р-азд. 3.7), Чтобы убедиться в этом, заметим, что анзатц
(4.3.9)
* І.У2, у3; х) - M 2с«-21-112R (Г) exp )
позволяет осуществить редукцию (4.3.8) к обыкновенному дифференциальному уравнению
(4.3.10) R" + у Rf + sign (п2) R3-R = 0.
Это уравнение обладает сильными подвижными логарифмическими сннгулярностями, а значит, не относится к Р-типу. Поэтому, основываясь на предположениях разд. 3.7, не следует рассчитывать на то, что уравнение (4.3.8) может быть решено при помощи МОЗР, имеет полный набор переменных действие — угол, обладает свойством возвращаемости и т. д.
Другой фундаментальный вопрос относится к природе самофокусировки в случае размерности (2+1). Захаров и Сынах (1976) [549] доказали, что решения (4.3.8) с п2 > 0 должны фокусироваться за конечное время (см. разд. 3.8).
Существование неустойчивости взрывного типа в решений уравнения (4.3.8) свидетельствует лишь о неприменимости представления в виде ряда по степеням є, при помощи которого было получено (4.3.8). Ее наличие не является свидетельством существования сингулярности в исходной задаче. Однако характер сингулярности в уравнении (4.3.8) может быть использован для отдельного анализа, который необходим в данной области. Оцен- 360
4. Приложение
ка порядка сингулярности была произведена в работах Келли (1965) [273] и Захарова, Сынаха (1976) [549]. Однако, как отмечено в [28], ни одна из этих оценок, по-видимому, не является исчерпывающей. Точный характер самофокусирующихся сингу-лярностей решений уравнения (4.3.8) в настоящее время остается невыясненным.
Ахманов, Хохлов и Сухорукое (1972) [39] обсуждали много экспериментальных наблюдений эффекта самофокусировки для размерности (2 -f- 1). В некоторых случаях сфокусированный луч был столь интенсивным, что происходило физическое повреждение материала. Как отметил Ярив [515], «этот эффект очень интересует экспериментаторов, работающих с очень мощными лазерными импульсами, так как эти повреждения могут происходить внутри самого источника лазерного излучения».
До сих пор мы рассматривали только стационарные падающие лучи. Это ограничение с физической точки зрения нежелательно, потому что высокие интенсивности, необходимые для выполнения (4.3.2), часто достигаются применением лазеров с модуляцией добротности, излучающих короткие или ультракороткие импульсы. К тому же без него можно обойтись. Для того чтобы устранить это ограничение, наряду с (4.3.5) рассмотрим медленное время
