Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
В следующем порядке аппроксимации условие секулярности требует перемещения волнового пакета с линейной групповой скоростью
(4.3.20) ^+ с. (ft)
где Cg = da/dx. В этом масштабе времени Ф удовлетворяет неоднородному волновому уравнению
<Э2Ф , (д2Ф . d2$1 , . д ,Ijl9
(4.3.21) _ _ ^ + _ I = ^p1 — I Л h
где
-^s- sech2 kh +
і + т
T=^~ = {khfT.
Решение (4.3.21) изменяется коренным образом в зависимости от того, выполнено или нет неравенство
(4.3.22) gh > Cg.
Если отношение Cj^gh интерпретировать как «число Маха» волнового пакета, то (4.3.22) является условием того, что поток «дозвуковой». Когда A имеет компактный носитель, Ф содержит слагаемое, которое является решением неоднородного уравнения. Эта компонента решения описывает вынужденное движение со скоростью Cg, т. е. удовлетворяет (4.3.20). Волна, соответствующая решению однородного уравнения (свободная компонента), по порядку величины равна Ojj^m) при t\ ->оо; она излучается из области со скоростью д/gh. Поэтому при выполнении (4.3.22), когда h-^oo, ф удовлетворяет как (4.3.20), так и
іл Q oq\ <52Ф і d2® k<s> д . -?
(4.3.23). а—т + —T=--г ?i ~ I А \
dx, ду] gh дх
где
8^ '
вместе с граничными условиями Ф->0 при (л:? + yf) оо. 364
4. Приложение
Эти граничные условия были сформулированы Дэви и Стю-артсоном (1974) [131], они корректны в тех случаях, когда нет поверхностного натяжения.
Если поверхностное натяжение достаточно велико, то (4.3.22) нарушается, и поток становится «сверхзвуковым». В данном случае, даже если Л имеет компактный носитель, Ф и ее производные отличны от нуля вдоль «линии Маха», выходящей из носителя Л. В пределе /i-voo, как и прежде, Ф удовлетворяет одновременно (4.3.20, 23). Однако теперь соответствующими граничными условиями уравнения (4.3.23) является обращение Ф вместе со своими производными в нуль впереди носителя Л (т. е. при Xi-»оо); при Xi -э—оо никаких граничных условий нет.
Поэтому в общем случае нельзя ожидать сходимости интегралов, содержащих Ф при интегрировании по всей области.
Предел fi -> оо интересен тем, что нелинейное уравнение Шрёдингера возникает при устранении секулярных членов в следующем временном масштабе t = 0(e~2). Выполняя это, подставляя результат в безразмерной форме и вводя новые обозначения
І = ek (х — Cg/), т] = гку, (4.3.24) т = e2(gk)V2t,
А = k2 (gk) - mA, Ф = k2 (gk) - "?Ф, мы убеждаемся, что А и Ф удовлетворяют уравнениям (4.3.25а) IAx + кAll + M44 = ХМ ? А + XiAOl, (4.3.25Ь) аФ?ї +(Dim=-P (MP)6,
где
<y = thftA, T = ^-, % = Vfe2 +12.
(a2 = gha{l+f)>0, -(?)
K = g*
2<Оо
= *2s.>0
- а" и>
2<в0 2<в0
(4 3 26) у-Г VU (9-а2)+ Г (2-а2) (7-а2) V ' ' ; Л V 4со J I а2 - T (3 - а2) ^
+ 8о2-2(1-О2)2(1+Т)--^;' 4.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера и его обобщения
365
X. = 1 + (1 - CT)2 (1 + Г)>0,
Sh '
Н^М^'-^+ттгИ
1 + г
2
V = X
а
В предыдущих формулах все функции вычислялись при / = = 0, так как мы предполагаем, что рассматриваемые цуги волн распространяются только в направлении х.
Рис. 4.15. Карта пространства параметров для пакетов осцилляторных волн на вдое, показывающая, где коэффициенты уравнений (4.3.25) меняют знак. Динамика эволюции волн различна в каждой области. Самофокусировка возможна в области F. (Абловиц и Сигур [28].)
Пара связанных уравнений (4.3.25) описывает эволюцию комплексной амплитуды волн А и возбуждаемое или среднее течение (VO). Если волновой пакет локален, естественно потребовать, чтобы А стремилось к нулю при I2 + г|2оо. Как указано выше, граничные условия для Ф зависят от знака а. Характер решений (4.3.25) существенно зависит от знаков коэффициентов уравнений. На рис. 4.15 изображена карта пространства параметров, показывающая, где изменяются эти знаки. Как видно из рисунка, каждая граничная линия соответствует простому нулю коэффициента, за исключением двух кривых, ограничивающих область ft Эти две кривые отвечают сингулярности v. В ок-
kh
о 0.25 0.5 q.75 1.0 1.25 1.5
T- к 2 Т/д 366
4. Приложение
рестности каждой из этих кривых процессы происходят на более коротком временном масштабе, чем О (е-2), имеющем место в других случаях (см. [138]).
Этим завершается вывод основных уравнений (4.3.26). Прежде чем перейти к рассмотрению их следствий, сделаем два дополнительных замечания, которые помогут уяснить место полученных уравнений в нашем обсуждении.
(i) В недавних работах Лонгет-Хиггинса (1975) [333], Коке-лета (1977) [113] и др. были выяснены некоторые аспекты динамики волн на воде в состоянии, близком к опрокидыванию. Очевидно, что между этими работами и (4.3.25) нет ничего общего, поскольку в первом случае изучались волны большой амплитуды, в то время как уравнения (4.3.25) описывают волны малой амплитуды.
(ii) С уравнениями (4.2.21, 25а) тесно связаны уравнения Захарова (1972) [526], полученные в физике плазмы. В случае размерности (1 + 1) мы можем отождествить осцилляторные волны на воде с высокочастотными ленгмюровскими волнами в плазме, а Ф^ — с плотностью ионов. Поэтому (4.3.2) описывает ионно-акустические моды с учетом пондермоторных сил в правой части уравнения, в то время как (4.3.25а) при % = О описывает эволюцию ленгмюровских волн.
