Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
S3
Из формулы (2.6) видно, что для тонкО^ оболочки внешний
момент g X N есть малая величина и в большинстве случаев им пренебрегают.
В частности, пренебрегают и моментом сил инерции относительно срединной
поверхности (так называемой инерцией вращения).
-*¦
Составляющую вектора F, обусловленную силами инерции, с достаточной для
т°нких оболочек степенью-точности можно
• ' I 1 - . ;
принять в виде -p'v, где v - скорость на срединной поверхности, а р' -
двумерная плотность оболочки, т. е. масса оболочки, приходящаяся на
единицу площади средиииой поверхности О в актуальной конфигурации:
Н/2
р'= Г A(Z)p(Z)dZ. (2.28)
-Н/2
Ниже будет использоваться тождество
v' v'PT) = my-Gfe N, (2.29)
- = detG* = g""g"-gi2 . h'=-trB.
g ~ giig**-g*2 2
Для доказательства (2.29) обратимся к теореме о дивергенции (1.38) главы
III, положив X = Е:
Л1 IV
j* М dS = JJ 2Н' NdO. . (2-30)
Г*
С немощью (2.11) главы III перейдем в (2.30) к интегрировании)'по контуру
и поверхности в отсчетной конфигурации поверхности:
jm-(/"Q/g v'pt)ds = f^H'N/"Wdo. (2.31)
T. o*
Преобразуя контурный интеграл в (2.3#1) в поверхностный и учитывая, что
участок поверхности о. может быть выбран произвольно, получаем требуемый
результат (2.29).
Из (2.29) и (3.3) главы III следует, что для тензорного по-
/
ля X, удовлетворяющего условию N • Х=0, справедливо соот-
ношение
О -
/Gfe v' • X = V' • [/-Щ- (V'р)т- X] (2-32).
Тождество (2.32) позволяет записать уравнения равновесия
(2.24) с помощью набла-оператора отсчетной конфигурации по-:
верхности:
V' • + f = 0, v' • (Р4' • е) + Д о [ (у' Р)т-о^] = 0,
(2.33)
А/ FU ГЫ t>f ГЫ
"~ = /"G/iT(v'p)T*0, ^ =S/*<W (v'p)1'-!4, * =1/ G/g F-'
А/ А/
Здесь мы пренебрегли внешним моментом |.
Тензоры ov и pv являются аналогами тензора напряжени*
#4# /ч/
Пиола (2.5) главы II.
Из соотношений (2.25) получаем
= Vs" - рл- -В + V'-' N, v- = у G/g (V'Р)т•v, (2.34;
л" а/ л; а" /V"
Ti^v'pF-V, (v'P)T-V~ = (^-p-)-G.
Подстановка (2.34) в (2.33) приводит к таким формам урав нений равновесия
в геометрии отсчетной конфигурации:
* V' * Ь-------• в + (V' * Р~) • (v'pJN] +1 = о, (2.35*
/V" /V/ /V" /V"
V' • (^ В) - В• (V7 • р.'") + Nv7'• [(v'р)т• (V' *Р")] = о.
А" /V"
(2.361
А/ А/ 1 А/ А/
Так 1как ,\7'р = Рара, имеем - •
Q/g v"PpaPp, р'" =у' Q/g р."РраРр. . 2.37)
Здесь vaP, рар - контраварнантные компоненты симметрия ных тензоров
усилий и моментов v и р в базисе актуально!
А/ А/
"4
конфигурации поверхности. Согласно (227), (12.22) главы получаем
b-ft+fcei-w+il • (238)
о оо оо оо о
f"p==V"Up- bpu, "pp^vpu + bju...
Далее имеем на основании (2.38)
<V'p)T Рт = (Л Рх = G"[(8" +lTg*")рЛ". + 9*рЛ]. (2.39)
Представим векторы f и N разложениями:
f = f* Ре +! п, N = № р. + N п. (2.40)
Из (2.28) главы III следует
№=VA'i/G~ g*pg4* [f" + (f",g"> - 1) g4 j, (2.41)
N = jT^jG (1 + trf + detf).
/Ч/ "V
Учтя соотношения (2.37)-(2.41), вместо (2.36) получим
- b? Т" - B" (8Р + °feT giP )S, + n4.(G" S.) M- fp = 0, bep T"P + v. T" -
B" ?e S, + N°v" (G" S,) + f = 0, (2.42)
T°p = /'G/g Ьах -1*" Bt*) (8P +\t gTP ),
/
T"=V~G]g (*" - p" в;) ?",
Sx = (gxp +°fxp) {v"(/'G/g' 1*" (8P + ttgTp )1 -- / G/g bp v" <?,} +
?x/^"G7i"bap jx" (8P +1T g^P) +
+ V"(/'G/g v"x<P0b
Уравнения равновесия в форме (2.42) отличаются от уравнений (2.26) тем,
что в них участвуют операции ковариантного дифференцирования в метрике
иедеформированной конфигура-
ции оболочки. Кроме того, уравнения (2.42) составлены в про-
->¦ ->
екциях на векторы базиса р(r), п отсчетной конфигурации.
Другие формы записи уравнений равновесия оболочек представлены в работах
[10, 13, 29, 33, 36, 50, 51].
§ 3. Кинематические гипотезы Кирхгофа-Лява
Классическая теория оболочек базируется на кинематических
гипотезах Кирхгофа - Лява, выражающих перемещения любой
частицы оболочки через перемещения срединной поверхности.
Эти гипотезы означают,' что материальная частица с радиусом--+¦ -> -+¦
вектором г = р + z п в отсчетной конфигурации, то есть в не-
деформированном состоянии, будет иметь в деформированной конфигурации
радиус-вектор
R<M) = P(M) + zN(M). (3-1)
Здесь Р - радиус-вектор срединной поверхности О деформи--+¦
рованной оболочки, N - вектор нормали к поверхности О.
Градиент деформации, соответствующий точечному преобра- -зоваиию (3.1),
согласно (1.4), а также (2.3) главы III, имеет вид
AR = (g-zb)-'.C.(G-zB) + nN = (g - zb)-'-(v'P +
IV "V /X" |Х/ fSJ
+ г v'N) + nN. (3.2)
Аналогично записывается выражение обратного тензора:
Vr - (G - zB)-,*C-,*(g - zb) -f Nn =
<N/ "X/ - /X/ **
= (G - zB)_,-(v' p + z v' n) f N n. (3.3) •;
Из (3.2), (3.3) и (1.25) главы II получаем представления I трехмерных мер
деформации Коши и Альманзи в теле оболочки:
А = (g - zb._1-C.(G - zB)s-CT-(g - zb)-1 -f- п п = (3.4)
/V IV /X" IV IX/ IX/
= (g - zb)-1-(Gx- zBx)-Gx_'.(Gx-zBx) - (g - zb)-1 + nn;
IX/ X" /X/ IX* IX/ IX" |~ /X/ ^
M *
X - (О - zB)-1. С-1 • (g - zb)* • C-T- (G - zB)-1 -f NN =
OS O* OS /V IV OS OS /V ms
= (G - zB)-1 • (gx - zbx)-gx_1 • (gx - zbx)- (G - zB)->+ NN. (3.5)
