Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
Для неоднородных гиперупругих оболочек энергия W' будет кроме того явно
зависеть от лагранжевых координат q1, q2. Примером неоднородной оболочки
является оболочка переменной толщины.
Энергию W' можно рассматривать, очевидно, так же, как и
а -*¦ о -*
функцию тензоров Gx-1 и Вл или тензоров V'P и V'N. Тогда
"V" /V
из (4.9) можно получить следующие представления:
*0
Компонентное представление формулы (4.11) дает выражение ковариаитных
компонент тензоров усилий v н моментов р
в векторном базисе Ра:
, Г ~о aw / dw \ DT / aw' \
n у ( аввт J ^ [ ав^ )
/сГ aw M * - P
Тм""'"чг' (4ЛЗ)
Рассмотрим еще случай, когда удельная энергия оболочки задана как функция
тензора U' = Gx'/* и тензорa tK1, выража-
емого через вектор конечного поворота. Опуская вычисления, приведем для
этого случая представления тензоров усилий и моментов:
j/^ - рх=- W.V + w> (4Л4)
1/ -^ = I W'TI,-f 1/ - U'-^-W' .u'-l-к g ~ tru' L >и Kg >и ~
/V ~ ^
-Ur-*-(Вх-W'KX ).U'-> -
_ • СW кх • в* + в* • w; кх) • о"-ч.
2 г g ~ ~ ~
Участвующий в (4.14) тензор Вх можно выразить через тензоры Кх и U',
разрешив относительно тензора Вх уравнение (2.65) главы III. Результат
имеет вид
вв-7Тг[1/Г ^<K"-fb) + U'.(K'-fb).U']. (4J6)
tr и L • g л" /v г* г** /v
/V"
Тензоры ;U' и U/_* выражаются .через 1тензор G* формула-
#4# /V" #4#
ми (2.48) главы III.
Предписываемая гипотезами Кирхгофа - Лява мера деформации Коши в
оболочке, согласно (3.4), выражается через принадлежащие 'поверхности о
симметричные тензоры g, b, Gx, В1.
с</ ги ** rs/
Для изотропного гиперупругого материала удельная энергия де-i формации W
есть функция инвариантов тензора Л. В качестве
/v '
полной системы независимых инвариантов тензора Л можно-
' - л/
взять следующие величины: trA, trA2, trA3. Как следует из (3.4)
/V /V" /V"
и тождества Гамильтона - Кэли (1.12) главы,III, эти величины?
представляют собой следы полиномов от цензоров g, b, .G*, (В*
Л/ /X/ ~fsj '
с коэффициентами, зависящими от координаты z и от инвариантов каждого-из
этих тензоров.
Известно [43], что след произведения любого числа двуйер' ных
симметричных тензоров выражается через следы пройзве дений не более чем
двух из этих тензоров. В рассматриваемо нами случае тензор g можно
исключить из числа тензорны.
А/
аргументов функции W, так как он является единичным тензо ром на
поверхности о.
Приходим к выводу, что главные инварианты тензора A npi
' л/
выполнении гипотез Кирхгофа - Лява будут рациональным1 функциями
координаты z и следующих девяти совместных ин вариантов тензоров b, Gx,
В1:
/V /V" rs/
trb = g"Pb"u, trGx = g"?Gap, trBx = g"PB"?, (4.16)
tst fSt iSt
det b = (b" bI2 - bb )/g, det Gx = -, detB=-(B" B12-
~ ~ g ~ ...
- Bf2 )/g, b ° Gx = b"p Op, bo Bx = b"P B"P,
0-oBx = g"Pgi*G4 Gpt-
rs/ rs/
После интегрирования по толщине, согласно второй формул
(4.3), зависимость от координаты z исчезнет и удельная энер,
и
гия деформации W' длй оболочки из гиперупругого изотропного материала
будет функцией инвариантов (4.16). Инварианты Ь о G*, b о В1 и G1 о В1
называются взаимными инварианта*
/V /у Л/ Л/ /X/ /V"
ми тензоров b, G* В*. Они определяют взаимное расположе-
/X/ /W ^
ние главных осей перечисленных симметричных тензоров, в то время как
остальные инварианты (4.16) задают главные значения этих тензоров. Может
показаться, что эти взаимные инварианты не являются независимыми, так как
задание угла между главными осями тензоров b и G* и угла между главными
ося-
/X/ /X/
ми тензоров |ВХ и G* определяет и угол между главными'ося-
/X/ /X/
ми тензоров ,Ь и 'В*. Однако это рассуждение справедливо толь-
#4# /X/
ко в случае, если главные оси каждого из тензоров определены однозначно,
и теряет силу, когда хотя бы один из тензоров становится вырожденным, то
есть принимает вид тензора a g, про-
а/
порционального первому фундаментальному тензору, у которого положение
главных осей неопределенно. ;Так как тензоры Gx, Вх
IX/ /X/
заранее неизвестны и в процессе деформации могут принимать любые
значения, в общей теории следует использовать полную систему инвариантов
(4.16).
Для изотропного гиперупругого материала энергию W можно считать функцией
инвариантов меры деформации Альманзи Я,.
/X/
Имея в- виду формулу (3.5) и проводя рассуждения, аналогичные изложенным
выше, придем к выводу, что для оболочки из гиперупругого изотропного
материала удельная энергия деформации W' является функцией- совместных
инвариантов принадлежащих (поверхности О симметричных тензоров 'В, g1-1,
Ьл
/X/ "Ч/ /X/
Эти инварианты выражаются формулами, аналогичными (4.16).
Указанное обстоятельство наводит на мысль, что система инвариантов (4.16)
может быть выражена через совместные инвас рианты тензоров В, gx_1, ЬЛ и
обратно. Это действительно так,
/X/ /V /X/
а соответствующие формулы имеют внд (gA = gx_1)
/X/ /X/
trG* = trgA, trBx = B°gA, (4Л7)
/V /X/ /х/ ГХ/ /у,
tr b = (det gA)_l [tr gA tr bA - gA ° bA],
/X/ /X/ /V /V Л/ /V
det Gx = det g, det Bx = det g<* det B.
