Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
*1
det b = det bA/det g\ b" O* = tr bA,
"V /V /V /V /V
b " Bx = В • bA, Gx ° B* =" tr gA В" gA - detgA tr B,
~ /V /V> (tm) ns (tm) A*
tr gA = tr G\ Ji bA = b ° Gx,
(4Л8) ?
tr В - (detG1)-* [trGx tr|Bx - Gx • Bx],
<V (V /V /V rv fSt
det gA = det Gx, det bA - det b det Gx,
det В = det Bx/det Gx, В • gA = g • Bx,
¦ /W ^ /W /V /V Л/
- Be b* ^ гЬ (r) Bx; '
gA * gA __ tf <3X b " GX- det Gx tr b.
При использовании тензоре" И' и К \(или 'U' - g и К?)
описания изотропных оболочек надо рассматривать совместив!# инварианты
тензоров Ь, И', К (или b, М\ Кх). Завйсйм0Сти
,*** . #4# . Л/ . , -,Ч W -г* Л/ .-V Л" ' . J'
- '
энергии W'(b, И, К) от тензора b учитывает влияние началь-
ной геометрии (т. е. геометрических свойств поверхности в от счетной
конфигурации) на механические свойства оболочки. В^ многих случаях этой
зависимостью пренебрегают, и тогда удель ная энергия деформации
изотропной оболочки может считатьс функцией пяти совместных инвариантов
двух тензоров И' и I
(два инварианта каждого'из тензоров и один взаимный инва< риант).
Из (4.9), (4.16) следует представление закона состояния изотропной
гиперупругой оболочки:
Здесь Ck, dk (к=0, 1, 2, 3) - скалярнозначные функции величин (4.16),
выражающиеся через производные удельной энер, гии W/ по инвариантам
(4.16). т
Для дальнейшего потребуются некоторые свойства двумерных тензоров второго
ранга, то есть тензоров, принадлежащих, некоторой поверхности.
vx = c0g + с, b Д- с2 Gx + с3 Вх,
(4,19)
(Iх = d0 g + dt b -f- d2 Gx + d3 Bx.
94
В тождестве Гамильтона - Кэлк (1.12) главы III положим X = Xi kX2, где \-
произвольный числовой параметр. При-
mw ем
равняв нулю коэффициент при А,, придем к тождеству, справедливому для
любых двумерных тензоров Xi, Х2:
м А/
X" • Х2 + X, • X, - X" tr X, + X, tr X, + g (tr (Xt • Xs) -
MW ем MW MW ^ MW *** ** **
- tr X, tr X,]. (4.20)
"V MW
Здесь g - первый фундаментальный тензор рассматриваемой
ем
поверхности.
Если тензоры Хг, Х2 симметричны, то левая часть равенства
'• v mw . ем
(4.20) является симметричным тензором.
УЙйоЖйВ (4.20) справа на Xs и снова применяя формулу Га-
mw
мнльтона - Кэли, можно получить тождество
% 4- ХН (4- * trX'i) det 4 +• X, tr (ХГ- Х& (4.21)
"V "V "у ^ а" ^ ем ем "v ^
В работе [62] доказано, что полная н несократимая система
совместных инвариантов трех трехмерных ' симметричных тензоров состоит из
следующих 22 величин:
trX,, trXf, tr XJ; trXa, trX{, trX|; trXg,
a/ mw .ем mw mw ем ем
trXS, trX|; tr(Xt.Xg), tr(X?.Xa), tr(Xt.X5), (4J22)
*v /v ем ем гч/ ^
tr (X**X|); tr (Xj-X,), tr (X*>X8), trfX.-XJ),
mw e# .¦ MWeM ем ем mw ~
tr(Xl-Xl); tr(Xa-X,), tr(X?.X8), tr(X2-XJ),
..... mw '>¦' mv, лм . ем ем ем ем
tr (Х1-Х|)| tr (X1*X2-Xj).
MW ем ^ ^ mw
В [62] также доказано, что полная н несократимая система совместных
инвариантов произвольного числа симметричных тензоров второго ранга в
трехмерном пространстве состоит из величин вида (4.22), где в качестве
тензоров Хь Х2, Х3 надо взять
ем ем mw
поочередно все тензоры из рассматриваемой совокупности.
Применив эту теорему к двумерным тензорам и учтя, что след произведения
любого числа двумерных симметричных тензоров
выражается через следы произведений не более чем двух тензоров, получаем,
что любой совместный инвариант (т. е. скалярнозначная изотропная функция)
произвольного числа N симметричных двумерных тензоров есть функция
следующих величии:,
tr Xk, tr XI, tr (X, • Xj) (i > j), (4.23)
(i, j, k=l, ...,N).
В работе [62] доказана также следующая теорема об общем представлении
симметричнотензорнозиачной изотропной функ* ции f(Xi,..., Xn) от
произвольного числа N симметричных тен
"V fSf
зоров:
N
f (Xi. . . , XN) = <PoE + Y -(9и X, + ?12 Xs.) + (4.r
fV rw rw /V
1=1
N N
+ [?iji (Xj-Xj + Xj-Xj) + "p,j2 (Xf *Xj-)-Xj*X*)-)-
1=1 "=1+1
+ <plj3 (X,*Xj + XJ-Xj) + <plj4(X?.Xf + X].XF)].
rs/ гы
Здесь <po, фн, ф12, фц1, ф1]2, ф1]з" фц4 - скалярнозначные фун"__
совместных инвариантов тензоров Хь ... , Xn. Применяй Э1
Л/ A#
теорему к двумерным тензорам с учетом тождества Гамилыч на - Кэли и
соотношения (4.20), получим, что общее представ ление
симметричнотензорной изотропной функции произвольно^ числа двумерных
симметричных тензоров имеет вид
N
f (Xlt Х2,. . . j Xn) = фоЕ + фо? + Ti Xj, (4.25
rw л/ а; r>j
•-1, '
-S
где фо, фо, ф! - функции величин (4.23).
Для функции, значения которой есть симметричный тензс второго ранга,
принадлежащий поверхности, коэффициент фо Р вен нулю.
Из (4.5) с применением формул (4.20), (4j21 ) получим така представление
симметричных тензоров усилий v и моментов
4 fSf +
для, изотропной гиперупругой оболочки: -
П
*¦*= c'G4-c|B-f Cjg*-1-)-^ bA,
/V /V *0 fSf ro
(426)
(i - d; о + d;в+d;^-1 + & ь*.
IV л/ M w
Здесь c'k, d'k (k=0, 1, 2, 3)-функции инвариантов (4.16). Их можно-
рассматривать также и как функции совместных инвариантов тензоров 'В,
gx~', ЬА.
л/ го
Формулы. (4,19), (4.26) показывают, что в изотропной гнпер-упругой
